Serii cu termeni pozitivi

Serii cu termeni pozitivi

Sa se arate ca, pornind de la definitie urmatoarea serie este convergenta :

Rezolvare :

Reamintim ca o serie (in R sau C) este convergenta daca sirul sumelor partiale este convergent; in acest caz, este suma seriei si se scrie .

, si . Seria este convergenta cu suma .

2. Sa se stabileasca natura pentru urmatoarea serie :

Indicatie:

Serie geometrica cu ratia si este convergenta

Sa se stabileasca natura pentru urmatoarea serie:

Indicatie:

Se calculeaza explicit

Folosind criteriul comparatiei sa se stabileasca natura urmatoarei serii:

Indicatie:

Aceeasi natura cu seria Riemann ; deci convergenta pentru >1 si divergenta pentru .

Folosind criteriul raportului ( D'Alambert ) sa se calculeze natura urmatoarei

serii :

Indicatie :

Notam cu termenul general ; deci serie convergenta.

Folosind criteriul radicalului sa se calculeze natura urmatoarei serii:

Indicatie :

Aplicam criteriul radacinii , Daca a<b atunci seria este convergenta; daca a>b seria este divergenta iar daca a=b, se observa ca ; deci seria este divergenta.

Sa se arate ca, pornind de la definitie urmatoarea serie este convergenta :

Indicatii:

si suma este

Sa se cerceteze daca urmatoarea serie, data prin termenul general indeplineste conditia necesara de convergenta,

Indicatii:

, deci convergenta.

Sa se cerceteze daca urmatoarea serie, data prin termenul general     indeplineste conditia necesara de convergenta.

Indicatii:

; Pentru a<1 seria este convergenta; pentru , seria este divergenta; iar pentru

Se pot determina numerele reale a, b astfel ca seria cu termenul general sa fie convergenta ?

Indicatii:

Se noteaza si ; si avem , deci

Pentru ca seria sa fie convergenta trebuie ca , deci ; avem atunci si este divergenta daca ; convergenta necesita deci si atunci , de unde rezulta ca este convergenta.