Sisteme de numeratie sau baze de numeratie

Sisteme de numeratie sau baze de numeratie

Definitie: Sistem de numeratie = un mod de reprezentare a unor cantitati, prin intermediul unor simboluri, respectand un anumit algoritm de combinare.

Tipuri de sisteme de numeratie

a) Sisteme de numeratie nepozitionale:

simbolurile prin care sunt reprezentate cantitatile (numerele/dimensiunea) nu au o pondere in functie de pozitia ocupata in cadrul sirului de simboluri ce desemneaza (semnifica) cantitatea globala (totala).

Ex. : sistemul de numeratie ROMAN

I = "i" de la "in" reprezinta unitatea

II = reprezinta 2 unitati

V = "v" de la "vot" reprezinta 5 unitati

X = "x" de la "xerox" reprezinta 10 unitati

L = "L" reprezinta 50 unitati

C = reprezinta 100 unitati

M = reprezinta 1000 unitati

Prin alaturarea acestor simboluri cu o semnificatie prestabilita si folosind un algoritm/conventie de "calcul" (interpretare) se pot reprezenta diferite cantitati.

IV = 4 = 5 - 1

VI = 6 = 5 + 1

IX = 9 = 10 - 1

XI = 11 = 10 + 1

XX = 20 = 10 + 10

b) Sisteme de numeratie pozitionale:

simbolurile prin care sunt reprezentate cantitatile (numerele) au o pondere in functie de pozitia (rangul) pe care il ocupa in cadrul sirului de simboluri.

Ex. : Sistemul de numeratie ARAB:

Simboluri: 0 = 0 unitati

1 = 1 unitate

.

.

9 = 9 unitati

Ex. Numarul: 378

rangul 0 (al unitatilor) = 8 unitati

rangul 1 (al zecilor) = 70 unitati

rangul 2 (sute de unitati) = 300 unitati

____

378

3 sute 70 (sapte zeci) si opt unitati

Sisteme (baze) de numeratie pozitionale

1) Exprimarea unei cantitati (numar) intr-o baza de numeratie pozitionala de (K + 1) - pozitii.

Formalism: Rang K Rang K - 1 Rang I Rang 1 Rang 0

C_K C_K-1 C_i C₁ C₀

unde c_i = cifra de rang i

Numarul se va reprezenta:

Nr. = C_k C_k-1 . C_i . C₁C₀

in total (k + 1) ranguri (de la 0, ., k)

valoarea nr. N in baza X este:

N_x = C_k X^k + C_k-1 X^k-1 + . + C₁ X¹ + C₀ X⁰ =

unde baza X are (X) simboluri adica:

0, 1, x-1 simboluri.

Exemple: Vom considera bazele de numeratie cel mai des folosite: baza 10, baza 2, baza 8, baza 16, iar pentru fiecare vom face o reprzentare pe 4 ranguri ( K + 1 = 4);

Observatie: Baza 10 fiind baza de numeratie naturala (cea pe care o "simte" toata lumea) va fi baza de raportare, comparatie.

a) N₍₂₎ = N_B = nr. exprimat in baza 2 (binar)

b) N₍₈₎ = N_Q = nr. exprimat in baza 8 (octal)

c) N₍₁₀₎ = N_D = nr. exprimat in baza 10 (decimal)

d) N₍₁₆₎ = N_H = nr. exprimat in baza 16 (hexazecimal)

Observatii:

Liniile scrise cu rosu ilustreaza scrierea numarului 1101 in bazele 2, 8, 10, 16 (acelasi sir de simboluri in baze de numeratie diferite reprezinta cantitati diferite)

Algoritmul general pentru ( ) ranguri este:

rang (k) rang (k-1) rang (i) rang 1 rang 0

C_k C_k-1 C_i C₁ C₀

N_x = C_k (baza)^k + C_k-1 (baza)^k-1 + + C_i (baza)ⁱ + C₁ (baza)¹ + C₀ (baza)⁰

C_i = cifra (simbolul corespunzator rangului (i)).

Simbolurile corespunzatoare bazei 16 sunt:

A B C D E F

deci A este corespondentul lui 10

F este corespondentul lui 15.

Conversia numerelor dintr-o baza de numeratie in alta

In tabelul de mai jos vom reprezenta sintetic cele mai utilizate tipuri de conversie (fundamentale):

Conversia din ( ) baza X de numeratie in baza 10 (X

Fie

N_x = C_k C_k-1 C_iC₁C₀ - un numar in baza X, exprimat pe k + 1 ranguri

N_x = C_k x^k + C_k-1 x^k-1 C_i x^{i + +} C₁ x¹ + C⁰x⁰ =

2) Conversia din baza 10 in alta baza X (10 X)

Fie

N_x = C_k C_k-1 C_iC₀ = numar in baza X, obtinut prin conversie din baza 10

Cifrele C_k C₀ ale numarului in baza X se obtin prin impartiri succesive ale numarului N₁₀ (numar in baza 10) la nr. X astfel:

a) C₀ = restul impartirii lui N₁₀ la X

Q = catul impartirii N¹⁰/X

b) C₁ = restul impartirii lui Q₁ la X

c) C₂ = restul impartirii lui Q₂ la X

pana cand Q_k = 0

Exemplu: Fie 388₁₀ in baza 10

Doresc cionversia lui in baza X = 16 (hexa)

388₁₀ = C₂C₁C_{0 (16)}

32 24 = Q₁ 16

68 16 1 = Q₂ 16

64 8 0 0 = Q₃

4 C₁ 1

C₀ C₂

N₁₆ = C₂C₁C₀ = 184_H = 1

3) Conversia din hexa (16) in baza 2 (16 2) si invers 2

a) Conversia 16 se face astfel:

fiecarei cifre hexa din numar i se asociaza un grup de cate 4 biti (locatii care pot lua valoarea 0 sau 1), a caror valoare in baza 2 va corespunde cifrei hexa.

Observatie: Cifrele (simbolurile) in hexa sunt de la

0 F ; in total 16 simboluri.

Pe 4 biti numarul maxim care se poate exprima este 15, respectiv 16 simboluri sau combinatii.

Exemplu:

5B9_H = 5 16² + B 16⁰ = 1280 + 176 + 9 = 1465_D

5B9_H = 0101 1011 1001

5 B 9

b) Conversia din binar in hexa (2 se realizeaza astfel:

Se imparte numarul scris binar in grupuri de 4 biti pornind de la dreapta la stanga; daca ultimul grup din stamga este incomplet (nu are 4 biti), se completeaza cu zerouri bitii lipsa. Fiecarui grup de 4 biti i se atribuie valoarea cifrei in hexa.

Exemplu:

1101001_B = 1 2⁰ = 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 + + 1 = 105_D

1001 ultimul grup din stanga are 3 biti T completez cu un 0 in stanga

6_H 9_H

0110 1001_B = 69_h = 6 16⁰ = 96 + 9 = 105_D

Sistemul de numeratie binar

Baza de numeratie 2 (binara) foloseste pentru reprezentarea cantitatilor doua cifre (simboluri): 0 si 1.

In cadrul bazei de numeratie 2 definim:

a)               cantitatea de informatie (0 sau 1) care se poate regasi in cadrul unui rang se numeste BIT (un bit este o locatie care poate avea valoarea 0 sau 1.

b)              1 bit = unitatea cantitatii de informatie (aceasta definitie este utilizata in teoria transmisiei de date)

c)               1 bit = o variabila care nu poate lua decat doua valori:

0 sau 1

nimic tot

fals adevarat

negat direct

(aceasta definitie este utilizata in sensul logicii ..)

In aceste conditii o cantitate N_B exprimata in baza 2 pe un numar de (k + 1) ranguri poate avea doua interpretari:

a) exprima cantitati (numere)

N₂ = 1110 = 1

b) sir de biti (cod binar de k + 1 biti - caruia i se pot asocia ( ) fel de semnificatii stabilite prin conventii (pot reprezenta litere, semne speciale etc.)

Tratand problema reprezentarii binare global putem concluziona:

Cu un sir de biti pot realiza 2^k combinatii posibile distincte

Pe K biti rang (k - 1) rang(1) rang (o)

0 (k - 1)

K biti

Pot reprezenta:

Numeric Simbolic

numere intregi pozitive 2^k - simboluri distincte

de la 0 2^k - 1

in total 2^k - numere

In cadrul sistemelor numerice informatia cu care se lucreaza este codificata, adica acele combinatii posibile de realizat pe un numar K de biti sunt manipulate dupa algoritmi bine precizati.

Coduri

Definitie    Cod - un mod de reprezentare (interpretare) a informatiei despre anumite "marimi de interes" folosind un set de simboluri si algoritmi de combinare ales prin conventie.

In sistemul binar sunt folosite 2 tipuri de coduri:

coduri UNIPOLARE - pentru reprezentarea numerelor fara semn

coduri BIPOLARE - pentru reprezentarea numerelor cu semn

Coduri unipolare utilizate:

cod binar natural

cod binar zecimal a) cod binar zecimal natural (BCD) 8421

b) cod binar zecimal complementar 2421

- coduri progresive: exemplu: Cod Gray (cod cifric reflectat)

Coduri bipolare

La aceste coduri, bitul cel mai semnificativ MSB (Most signifiant bit) (cel mai din stanga) reprezinta bitul de semn (semnul numarului)

0 - indica N > 0

1 - indica N < 0

Cele mai folosite coduri: - valoare absoluta si semn

- complement fata de 1

- complement fata de 2