CATEGORII DOCUMENTE |
Astronomie | Biofizica | Biologie | Botanica | Carti | Chimie | Copii |
Educatie civica | Fabule ghicitori | Fizica | Gramatica | Joc | Literatura romana | Logica |
Matematica | Poezii | Psihologie psihiatrie | Sociologie |
VALORI PROPRII SI VECTORI PROPRII ALE UNUI OPERATOR LINIAR PE Rn
Obiective : insusirea de catre studenti a notiunilor de valoare proprie si vector propriu,proprietati si modul de calcul al acestora , a formei diagonale a unei matrici, a descompunerii singulare a unei matrici si a legii de inertie a matricilor simetrice congruente.
Continut :
Definitia si calculul valorilor proprii
Proprietatile si calculul vectorilor proprii
Forma diagonala a unei matrici
3.1 Metoda vectorilor proprii
3.2 Metoda Lagrange-Jacobi
Descompunerea singulara a unei matrici si descompunerea polara a unei matrici
patratice
Inertia matricilor simetrice congruente
Rezumat
Intrebari
Bibliografie
Cuvinte cheie : valoare proprie,vector propriu,polinom cacateristic,spectrul unei matrici,
matrice diagonalizabila ,matrice ortogonal-diagonalizabila,descompunerea singulara si descompunerea polara a unei matrici,legea inertiei pentru matrici patratice congruente.
1. Definitia si calculul valorilor proprii
Daca A este o matrice patratica de ordin n, fie numarul l real sau complex si vectorul XIRn astfel ca A.X = l.X l se va numi valoare proprie a matricii A, iar X se va numi vector propriu al matricii A.
In acest caz operatorul liniar A
: Rn Rn a carui matrice este A,
transforma vectorul X in vectorul coliniar cu X.
In continuare ne vom referi la matricea patratica A a operatorului A pe care il vom subintelege.
Valorile proprii si vectorii
proprii apar in legatura cu problema de extrem (maxim/minim) . Formam functia Lagrange:
.
O conditie necesara de
extrem este , deci punctul de extrem X(0) trebuie sa fie
vector propriu al matricii A iar multiplicatorul Lagrange
trebuie sa fie
valoare proprie pentru matricea A.
Pentru gasirea valorilor proprii
l si a vectorilor proprii X, trebuie sa avem .
Acest sistem omogen are si
solutii nenule X daca
se numeste polinom
caracteristic al matricii A, iar radacinile sale vor fi valori
proprii pentru A.
Aceste n radacini vor fi reale sau complexe conjugate, simple sau multiple.
Este adevarata si
reciproca : polinomului
i se asociaza matricea:
astfel ca deci
radacinile lui
sunt valorile proprii
ale lui
.
Multimea tuturor valorilor proprii l ale lui A se numeste spectrul matricii A si se noteaza cu σ(A).
adica cea mai
mare valoare proprie in modul, se numeste raza spectrala a
matricii A.
Ecuatia
se numeste ecuatia
caracteristica a matricii A, si are forma
desfasurata:
De aici rezulta relatiile:
Din ultima relatie rezulta
ca daca si
numai daca 0 nu este valoare proprie pentru A.
Proprietati ale spectrului s(A)
s(AT)=s(A)
lIs(A)TlmIs(Am)
Daca si
atunci l Is(A-1)
daca si numai daca
adica
.
Calculul coeficientilor
polinomului caracteristic se face cu metoda
Leverrier.
Conform
proprietatii 3) a spectrului al matricii A,
daca
atunci
s(Am) deci:
Intre sumele de puteri si
coeficientii
avem identitatile
unde
Cunoscand pe ,
, din identitatile Newton se obtin succesiv
:
Programul POLCAR calculeaza pe din coeficientii
matricii A cu metoda de mai sus.
In cazul ecuatia
caracteristica are forma:
Avem unde :
Exemplu
Fie matricea
Se cer
coeficientii polinomului caracteristic:
Solutie
Avem
Avem:
deci
deci
deci
Polinomul caracteristic al matricii
A va fi cu
radacinile
;
;
care sunt valorile
proprii ale matricii A.
Fie polinomul caracteristic al
matricii A:
Intrucat operatiile din membrul doi au sens si pentru matrici, l poate fi si matrice.
De exemplu putem lua . In acest caz avem:
Teorema 1 (Hamilton-Cayley)
adica matricea A
este radacina a polinomului sau caracteristic in care
variabila l se considera matrice.
Demonstratie
Fie matricea
asociata matricii
,
este formata
cu complementii algebrici de ordin
ai elementelor lui
. Avem
unde
.
Toate elementele matricii sunt polinoame de
grad
in l deci
avem:
.
Relatia devine:
sau:
Egalam coeficientii de acelasi grad ai lui l
Inmultind
aceste relatii cu obtinem:
Adunand aceste relatii, dupa reduceri de termeni in memebrul intai rezulta:
Q.E.D.
2 Proprietatile si calculul vectorilor proprii
Pentru fiecare valoare proprie gasita , rezolvam sistemul omogen
. Deoarece
sistemul omogen are o
infinitate de solutii X care sunt vectori proprii asociati valorii
proprii
.
Daca cu
, eliminam ultimele
linii secundare din
matricea
deci matricea
capata
forma:
unde submatricea G de
tip
contine primele
linii principale si ultimele
coloane secundare ale
matricii
.
Avem
vectorul propriu:
Multimea
tuturor vectorilor proprii X asociati valorii proprii formeaza un
subspatiu vectorial L(l0
)
Rn de dimensiune
, numit subspatiu propriu al valorii proprii
.
Dimensiunea
a subspatiului
propriu
se numeste multiplicitatea
geometrica a valorii proprii
, fiind mai mica
sau egala cu multiplicitatea algebrica a lui
ca
radacina a polinomului caracteristic
Teorema 2
Vectorii proprii ce corespund la valori proprii diferite, sunt liniar independenti.
Demonstratie
Fie si fie
vectorii proprii
corespunzatori acestor valori proprii. Presupunem prin absurd ca avem
relatia de dependenta liniara:
Inmultim ambii membri la stanga
cu si tinem
cont ca
.
Rezulta:
adica:
deci:
Inmultim ambii membri la stanga
cu si tinem
cont ca
.
Obtinem:
Dupa astfel de
inmultiri cu
obtinem:
si cum
sunt diferite
doua cate doua rezulta
Scriind
relatia in alta ordine si repetand procedeul rezulta .
Q.E.D.
Exemple
Fie matricea: . Se cer valorile proprii
,
,
si matricea S
care are pe coloane vectorii proprii ai matricii A.
Solutie
Polinomul
caracteristic are coeficientii:
Polinomul
caracteristic este deci: si are
radacinile:
;
;
.
a) Pentru avem
Baza |
A1 |
A2 |
A3 |
E1 |
| ||
E2 | |||
E3 | |||
A1 | |||
E2 |
| ||
E3 | |||
A1 | |||
A2 | |||
A3 |
Sistemul omogen are acum forma:
deci
asa ca
este vector propriu ce
corespunde valorii proprii
b) Pentru avem
Baza |
A1 |
A2 |
A3 |
E1 |
| ||
E2 | |||
E3 | |||
A1 | |||
E2 |
| ||
E3 | |||
A1 | |||
A2 | |||
E3 |
Sistemul omogen are acum forma:
adica:
Rezulta asa ca
este vector propriu ce
corespunde valorii proprii
c) Pentru avem
Baza |
A1 |
A2 |
A3 |
E1 |
| ||
E2 | |||
E3 | |||
A1 | |||
E2 |
| ||
E3 | |||
A1 | |||
A2 | |||
E3 |
Sistemul omogen are acum forma:
deci
asa ca
este vectorul propriu
ce corespunde valorii proprii
.
Matricea ce are
pe coloane cei trei vectori proprii va fi:
Se da matricea: . Se cer valorile proprii
,
,
si matricea S
care are pe coloane vectorii proprii ai matricii A.
Solutie
Ca si in
exemplul 1) gasim polinomul
caracteristic cu
;
a) Pentru avem
Baza |
A1 |
A2 |
A3 |
E1 |
| ||
E2 | |||
E3 | |||
A1 | |||
E2 | |||
E3 |
Sistemul omogen are acum forma:
Rezulta asa ca
;
sunt cei doi vectori
ce corespund valorii proprii duble
b) Pentru gasim ca si
la punctul 1) vectorul propriu
Matricea
vectorilor proprii este
Contraexemplu
Se da matricea . Se cer valorile proprii
,
,
si matricea
S ce are pe coloane vectorii proprii ai matricii A.
Solutie
Polinomul
caracteristic este cu radacina
tripla
a)
Pentru avem
Avem :
Baza |
A1 |
A2 |
A3 |
E1 |
| ||
E2 | |||
E3 | |||
A2 | |||
E2 |
| ||
E3 | |||
A2 | |||
A1 | |||
E3 |
Sistemul omogen are acum forma:
sau
Rezulta deci
este singurul vector
propriu ce corespunde valorii proprii triple
Matricea A nu
este diagonalizabila deoarece multiplicitatea geometrica a valorii
proprii este
in timp ce
multiplicitatea algebrica a lui
este 3.
3. Forma diagonala a unei matrici
Metoda vectorilor proprii
Matricile patratice de ordin n se numesc asemenea (Notatie A B) daca exista matricea patratica nesingulara de ordin n notata cu S astfel ca: B = S-1 A S
Relatia de asemanare a matricilor patratice de ordin n, este relatie de echivalenta:
Reflexivitate: A A
In acest caz S = E deci A = E-1 A E
Simetrie: A B T B A
Din B = S-1 A S rezulta
Tranzivitate: A B si B C T A C
Din si
rezulta
.
In acest fel matricile patratice de ordin n se impart in clase de matrici asemenea intre ele.
Teorema 3
Matricile patratice de ordin n care sunt asemenea, au aceeasi urma, acelasi determinant si aceleasi valori proprii.
Demonstratie
deci matricile A
si B au acelasi polinom caracteristic adica au aceleasi
valori proprii . Q.E.D.
Matricea patratica de
ordin n notata cu A se
numeste diagonalizabila daca este asemenea cu o matrice
diagonala adica exista matricea S de ordin n, nesingulara astfel ca matricea este matrice
diagonala.
Teorema 4
Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
a) Matricea A este diagonalizabila
b) Vectorii proprii ai matricii A formeaza o baza in Rn
c) Multiplicitatea algebrica a oricarei valori
proprii
este egala cu
multiplicitatea sa geometrica
d)
Demonstratie
b) T a)
Fie baza formata cu n vectorii proprii ai matricii A.
Fie S matricea patratica
de ordin n care are pe coloane vectorii proprii :
Avem :
Rezulta:
deci A este diagonalizabila.
a) T b)
Daca avem
sau
Coloana a lui S satisface
relatia
deci
este vectorul propriu
ce corespunde valorii proprii
.
b) T c)
S-a observat mai sus ca
multiplicitatea algebrica a oricarei valori proprii este mai mare sau
egala cu multiplicitatea sa geometrica. Rezulta ca suma
multiplicitatilor geometrice ale tuturor valorilor proprii este mai
mica sau egala cu n.
Suma a a multiplicitatilor geometrice ale tuturor valorilor proprii este egala cu numarul b al vectorul proprii liniar independenti ce corespund tuturor valorilor proprii ale lui A.
In conditiile punctului b) avem deci si
asa ca
multiplicitatile geometrice ale valorilor proprii ating valorile lor
maxime si anume multiplicitatile lor algebrice.
Reciproc, in conditiile
punctului c) avem deci si
de unde rezulta
punctul b)
b) T d)
Pentru orice XIRn avem cu
vectori proprii.
Grupand vectorii proprii care
apartin aceleiasi valori proprii distincte rezulta
Aceasta suma este
directa deoarece .
Rezulta . Rasturnand sagetile in rationamentul
precedent rezulta
d) T b). Q.E.D.
Din teorema 4 rezulta descompunerea unica cu
asa ca unde
sunt matrici simetrice
de proiectie cu
. Descompunerea
se numeste descompunere
spectrala.
Exemple
Matricea A cu valori proprii diferite (
pentru
) este diagonalizabila. In acest caz multiplicitatea
algebrica si cea geometrica a oricarei valori proprii sunt
egale cu 1.
Matricea normala (cu ) este diagonalizabila dupa cum rezulta din
teorema 5 de mai jos.
In particular sunt diagonalizabile
matricea simetrica (), cea antisimetrica (
) si cea ortogonala (
).
O matrice patratica de
ordin n este ortogonal-diagonalizabila
daca matricea S din relatia este matrice
ortogonala (
). Pentru matrici normale se poate demonstra o teorema mai
restrictiva ca teorema 4
Teorema 5
Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
a) A este matrice normala;
b) A este matrice ortogonal-diagonalizabila;
c) Cei n vectori proprii ai matricii A formeaza o baza ortogonala.
In continuare vom aborda doua clase
particulare de matrici normale: matrici simetrice () si matrici ortogonale (
).
Teorema 6
O matrice de
ordin n, simetrica () are n valori
proprii reale, simple sau multiple.
Demonstratie
Fie o valoare proprie l presupusa complexa si vectorul propriu X al lui l (si el cu componente complexe) ale matricii reale simetrice A.
Avem relatia . A fiind reala coincide cu conjugata sa complexa
A:
. Avem:
Pe de alta parte asa ca avem:
Rezulta: si cum:
rezulta
deci valoarea proprie l este reala. Q.E.D.
Exemple
Fie matricea simetrica: . Se cer valorile proprii reale
,
,
si matricea S
formata cu vectorii proprii pe coloane.
Solutie
Ca si in
exemplele din sectiunea 1 gasim polinomul caracteristic: cu
radacinile reale
;
;
Pentru obtinem vectorul
propriu:
;pentru
obtinem vectorul
propriu
; pentru
obtinem vectorul
propriu
Avem
Impartind vectorii-coloana din S cu normele lor, obtinem matricea ortogonala:
Avem
Se da matricea simetrica: . Se cer valorile proprii
,
,
si matricea S
formata cu vectorii proprii pe coloane.
Solutie
Ca si in
exemplele din sectiunea 1 gasim polinomul caracteristic: cu
radacinile
;
Pentru
gasim vectorul
propriu
iar pentru
gasim vectorii
proprii:
;
. Pentru ca vectorii proprii sa fie ortogonali cate doi,
inlocuim pe
cu
care este tot vector
propriu ce corespunde valorii proprii
Avem ;
Rezulta:
Se da matricea simetrica: . Se cer valorile proprii
,
,
si matricea S
care are pe coloane vectorii proprii ai matricii A.
Solutie
Ca si in
exemplele din sectiunea 1 gasim polinomul caracteristic: cu
radacinile
;
;
Faptul ca se datoreaza
situatiei ca
si
.Pentru
gasim vectorul
propriu
; pentru
gasim vectorul
propriu
iar pentru
gasim
vectorul propriu deci
si
impartind coloanele lui S cu normele lor gasim matricea
ortogonala:
Avem:
Teorema 7
O matrice A
patratica de ordin n care
este ortogonala () are valorile proprii de modul 1.
Demonstratie
Daca A este matrice patratica de ordin n iar X,Y IRn avem egalitatea produselor scalare:
Pentru relatia (1) devine:
Cum A este ortogonala
avem deci rezulta:
sau:
Pe de alta
parte relatia devine:
(4)
Comparand (3) cu (4) rezulta sau
. Q.E.D.
Exemple
Fie matricea ortogonala: . Se cer valorile proprii
,
,
si matricea S care
are pe coloane vectorii proprii ai matricii A.
Solutie
Ca si in
sectiunea 1 gasim polinomul caracteristic cu
radacinile
si
Pentru gasim vectorii proprii
si
Pentru gasim vectorul
propriu
Pentru ca
vectorii proprii sa fie ortogonali cate doi, inlocuim pe cu
care este tot vector
propriu ce corespunde valorii
.
Avem
Impartind coloanele lui S cu normele lor, obtinem matricea ortogonala:
Avem
Se da matricea ortogonala: . Se cer valorile proprii
,
,
si matricea S ce
are pe coloane vectorii proprii ai matricii A.
Solutie
Ca si mai
sus, gasim polinomul caracteristic cu
radacinile
si
Pentru obtinem vectorii
proprii
;
iar pentru
obtinem vectorul
propriu
Vectorii proprii
sunt ortogonali doi cate doi deci si
. Avem
Metoda Lagrange-Jacobi
Fie A o matrice
patratica de ordin n. Minorii
principali ai matricii A au forma: ;
;
. Pentru calculul acestor minori principali se poate folosi
programul de calculator DETPRIN . Fie
.
Pentru matrici A simetrice () cu D D Dn =
, in afara de metoda vectorilor proprii exista
si o a doua metoda de diagonalizare numita metoda
Lagrange-Jacobi. Matricii A i se
aplica algoritmul Gauss (nu
se imparte linia pivotului la pivot dar se aplica regula
dreptunghiului cu ajutorul pivotului) ajungandu-se la forma
superior-triunghiulara:
Matricea inversa R = S -1 este tot superior-triunghiulara:
Cu schimbarea de variabila X = R.Z functia f(X) = XT.A.X devine f(Z) = ZT.( RT.A.R).Z =ZT.B.Z unde B = RT.A.R. Matricile A si B sunt deci congruente(vezi sectiunea 5)
Relatia B = RT.A.R conduce la forma diagonala:
Programul LAGJAC face aceste calcule.
Relatia B = RT.A.R cu R = S-1 devine A = ST.B.S si cu notatiile : ST = L ; B.S = U
obtinem descompunerea LU : A = L.U unde L este matrice inferior-triunghiulara iar U este
matrice superior-triunghiulara, ambele nesingulare (vezi si sectiunea 5.1.2) .
Minorii principali sunt folositi
pentru a caracteriza matricile simetrice pozitiv definite respectiv negativ
definite.
Teorema 8 (Sylvester)
Matricea simetrica A este
pozitiv definita daca si numai daca
Matricea simetrica A este
negativ definita daca si numai daca
Demonstratie
Vom arata
ca matricea A este pozitiv definita daca si numai daca
matricea diagonala are elementele
( R este matrice patratica
nesingulara de ordin n).
In adevar, prin transformarea
liniara
cu ZIRn si
devine
. Daca
rezulta
deci
.
Reciproc, daca fie XIRn ,
pentru care
deci
asa ca
.
Conform metodei Lagrange-Jacobi
avem:
Cum , A este negativ definita daca si numai
daca
.
Deasemenea A este negativ
definita daca -A este pozitiv
definita deci . Cum
rezulta
. Q.E.D.
Exemple
Fie matricea simetrica
nesingulara: . Sa se aduca matricea A la forma diagonala
prin metoda Lagrange-Jacobi.
Solutie
Aplicam regula dreptunghiului fara a imparti linia pivotului la pivot.
Baza |
A1 |
A2 |
A3 |
E1 |
| ||
E2 | |||
E3 | |||
A1 | |||
E2 |
| ||
E3 |
| ||
A1 | |||
E2 |
| ||
E3 |
|
Rezulta . Prin inversare obtinem:
. Rezulta
.
Avem ,
deci
;
deci
;
deci
Avem deci matricea
simetrica A este pozitiva definita.
Se da matricea simetrica: . Sa se aduca matricea A la forma diagonala
prin metoda Lagrange-Jacobi.
Solutie
Aplicam regula dreptunghiului fara a imparti linia pivotului la pivot.
Baza |
A1 |
A2 |
A3 |
E1 |
| ||
E2 | |||
E3 | |||
A1 | |||
E2 |
| ||
E3 | |||
A1 | |||
A2 | |||
E3 |
|
Rezulta . Prin inversare avem:
Rezulta.
Avem ;
deci
;
deci
;
deci
asa ca
matricea simetrica A este negativ definita.
Fie o matrice dreptunghiulara A
de tip si
.
Presupunem ca m n.
Matricea Gram a matricii A este . Ea este matrice simetrica de ordin n si este nenegativ definita:
Matricea Gram are acelasi
ca si matricea A
si are r valori proprii strict
pozitive:
iar restul valorilor
proprii sunt nule:
Fie matricea
ortogonala de ordin n care are
pe coloane versorii proprii
ai matricii Gram
.
formeaza o
baza ortonormala in subspatiul liniar Im(AT) Rn iar
formeaza o
baza ortonormala in subspatiul liniar Ker(A) Rn, ortogonal pe Im(AT) :
Valorile strict pozitive se numesc numere
singulare ale matricii A.
Fie vectorii-coloana din Rm:
Avem deci
formeaza o
baza ortonormala in subspatiul liniar Im(A) Rm
Completam pe cu
vectorii-coloana
astfel ca
sa fie o
baza ortonormala in Rm.
Avem deoarece
.
Fie matricea ortogonala V de
ordin m care are pe coloane vectorii :
Fie D matricea
diagonala de tip :
care este
nenegativ definita. Avem:
Inmultind aceasta
relatie la dreapta cu (U = matrice
ortogonala) obtinem descompunerea singulara a matricii A:
A = V D UT
Pentru vom utiliza pe
in locul lui A.
Fie de tip
Se arata ca avem: A+
= U D+ VT deci am obtinut o noua
metoda de calcul a inversei generalizate a matricii
dreptunghiulare A.
Exemplu
Fie matricea cu
. Avem
cu valorile proprii
;
deci numerele
singulare ale matricii A sunt
;
.
Avem iar matricea
ortogonala a versorilor proprii pentru
este:
. Avem
;
Completam pe cu
vectorul-coloana
ortogonal pe
si cu
.
Rezulta
Avem care este matrice
ortogonala. Avem deasemenea:
deci descompunerea
singulara a matricii A va fi:
. Avem
deci
.
Fie in descompunerea singulara cazul particular m = n,
deci A, U, V, D sunt matrici patratice de ordin n iar U, V sunt ortogonale. Avem
asa ca:
Fie si
. P este nenegativ definita si are aceleasi
valori proprii cu
iar Q este
ortogonala.
Descompunerea singulara se transforma in descompunerea polara a matricii patratice A:
Observam ca A este matrice normala daca si numai daca P.Q=Q.P
In particular daca deci A este matrice patratica
nesingulara avem:
P=(A.AT)1/2
si
Inertia matricilor simetrice congruente
Fie A o matrice simetrica de ordin n.
Daca S este o matrice de ordin n nesingulara, matricea se numeste congruenta
cu A.
Matricea B este tot simetrica: deoarece A este
simetrica (
).
Relatia de congruenta a matricilor simetrice este o relatie de echivalenta:
Reflexivitate:
A este congruenta cu A deoarece unde E este matricea-
unitate (nesingulara)
Simetrie: Daca A este
congruenta cu B atunci B este congruenta cu A deoarece implica
adica
cu
nesingulara.
3) Tranzitivitate:
Daca A este congruenta cu B si B este congruenta cu C
atunci B este congruenta cu C deoarece si
cu S, R = nesingulare,
implica
Observam ca
asemanarea matricilor simetrice este un caz particular al congruentei
lor pentru cazul cand matricea S este ortogonala () deci
.
Teorema 9 (a inertiei)
Matricile
simetrice congruente A si pastreaza:
a) rangul:
b) numarul
valorilor proprii nenule si al
valorilor proprii nule
.
c) numarul valorilor proprii pozitive si al valorilor proprii negative.
Demonstratie
a)
Avem :
Mai intai .
In plus rang(A) = rang(ASS-1) rang(AS)
In mod analog avem rang(STA) = rang(A)
Rezulta rang(STAS) = rang(AS) = rang(A)
b) Matricea simetrica A
este ortogonal-diagonalizabila deci exista matricea ortogonala
(nesingulara) Q astfel ca este matrice
diagonala avand pe diagonala
valori proprii nenule
si
valori proprii nule.
c)
Fie mai intai cazul cand A = nesingulara.
Conform descompunerii polare, orice
matrice patratica nesingulara are forma , unde Q este ortogonala si R este superior
triunghiulara cu diagonala strict pozitiva.
Fie matricea cu
si fie
. Matricile
,
,
sunt nesingulare
si
;
.
Coeficientii polinomului
caracteristic al matricii sunt polinoame in
raport cu t deci valorile proprii ale
lui
sunt functii
continue de t. In
ele sunt valorile
proprii ale lui
deci sunt valorile
proprii ale lui
.
Pentru valorile proprii ale
lui
isi
pastreaza semnul.
Fie subcazul cand matricea A este singulara si fie valorile proprii (toate reale) ale lui A:
Fie deci pentru orice
valorile proprii ale
lui
adica
vor nenule. Conform
punctului b) matricile
si
au acelasi
numar de valori proprii pozitive respectiv negative.
Aceste valori proprii sunt
functii continue in raport cu t
deci pentru cele pozitive devin
nenegative iar cele nenegative devin nepozitive. In plus
si A au
acelasi numar de valori proprii nenule. Rezulta ca A
si
au acelasi
numar de valori proprii pozitive si acelasi numar de valori
proprii negative (fiecare fiind socotita cu multiplicitatea sa). Q.E.D.
Un polinom patratic (forma
patratica) are matricea
coeficientilor simetrica de ordin n:
. Polinomul patratic
are forma
vectoriala
unde X este
vector-coloana din Rn .
Trecand de la baza standard la o alta
baza
avem conform
sectiunii 2.2 relatia
unde
este matricea de
trecere de la baza E la baza F. Rezulta
deci in baza F
polinomul patratic
are matricea simetrica
a coeficientilor
, congruenta cu A.
Conform teoremei inertiei, la
schimbarea bazei, numarul valorilor proprii pozitive si respectiv
negative ale matricii coeficientilor lui ramane
acelasi.
Exemplu
Matricile simetrice si
sunt congruente
deoarece cu
nesingulara avem
. A are valorile proprii 1 si -1 iar B are valorile
proprii 2 si -1 ceea ce confirma teorema inertiei.
Rezumat
In acest capitol se definesc notiunile de valoare proprie si vector propriu al unui operator liniar , se dau proprietatile si modul lor de calcul.
Se prezinta forma diagonala a unei matrici cu referire la matricile simetrice si ortogonale.
Se prezinta descompunerea singulara a unei matrici si descompunerea polara a unei matrici simetrice. Capitolul se incheie cu legea inertiei matricilor simetrice congruente.
7 Intrebari
1.Ce sunt valoarea proprie si vectorul propriu al unei matrici ?
2. Cum arata forma diagonala a unei matrici simetrice ?
3. Cum se realizeaza descompunerea singulara a unei matrici ?
Ce afirma legea inertiei pentru matrici simetrice congruente ?
8 Bibliografie
Stanasila O. " Analiza liniara si geometrie "Vol. I - II,Editura ALL ,2000 - 2001
Cenusa Gh. si col." Matematici pentru economisti " Editura CISON,2000
Cenusa Gh. si col." Matematici pentru economisti - culegerede probleme" Editura CISON,2000
Ene D. " Matematici (I) " Editura CERES , 2004
5. Gogonea S. , Ene D. " Analiza numerica " Editura Cartea Universitara , 2005
6. Ene D. , Gogonea S. " Metode numerice "Editura Cartea Universitara , 2005
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 3420
Importanta:
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2025 . All rights reserved