VALORI PROPRII SI VECTORI PROPRII ALE UNUI OPERATOR LINIAR PE Rⁿ

Obiective : insusirea de catre studenti a notiunilor de valoare proprie si vector propriu,proprietati si modul de calcul al acestora , a formei diagonale a unei matrici, a descompunerii singulare a unei matrici si a legii de inertie a matricilor simetrice congruente.

Continut :

Definitia si calculul valorilor proprii

Proprietatile si calculul vectorilor proprii

Forma diagonala a unei matrici

3.1 Metoda vectorilor proprii

3.2 Metoda Lagrange-Jacobi

Descompunerea singulara a unei matrici si descompunerea polara a unei matrici

patratice

Inertia matricilor simetrice congruente

Rezumat

Intrebari

Bibliografie

Cuvinte cheie : valoare proprie,vector propriu,polinom cacateristic,spectrul unei matrici,

matrice diagonalizabila ,matrice ortogonal-diagonalizabila,descompunerea singulara si descompunerea polara a unei matrici,legea inertiei pentru matrici patratice congruente.

1. Definitia si calculul valorilor proprii

Daca A este o matrice patratica de ordin n, fie numarul l real sau complex si vectorul XIRⁿ astfel ca A.X = l.X l se va numi valoare proprie a matricii A, iar X se va numi vector propriu al matricii A.

In acest caz operatorul liniar A : Rⁿ Rⁿ a carui matrice este A, transforma vectorul X in vectorul coliniar cu X.

In continuare ne vom referi la matricea patratica A a operatorului A pe care il vom subintelege.

Valorile proprii si vectorii proprii apar in legatura cu problema de extrem (maxim/minim) . Formam functia Lagrange: .

O conditie necesara de extrem este , deci punctul de extrem X⁽⁰⁾ trebuie sa fie vector propriu al matricii A iar multiplicatorul Lagrange trebuie sa fie valoare proprie pentru matricea A.

Pentru gasirea valorilor proprii l si a vectorilor proprii X, trebuie sa avem .

Acest sistem omogen are si solutii nenule X daca

se numeste polinom caracteristic al matricii A, iar radacinile sale vor fi valori proprii pentru A.

Aceste n radacini vor fi reale sau complexe conjugate, simple sau multiple.

Este adevarata si reciproca : polinomului

i se asociaza matricea:

astfel ca deci radacinile lui sunt valorile proprii ale lui .

Multimea tuturor valorilor proprii l ale lui A se numeste spectrul matricii A si se noteaza cu σ(A).

adica cea mai mare valoare proprie in modul, se numeste raza spectrala a matricii A.

Ecuatia se numeste ecuatia caracteristica a matricii A, si are forma desfasurata:

De aici rezulta relatiile:

Din ultima relatie rezulta ca daca si numai daca 0 nu este valoare proprie pentru A.

Proprietati ale spectrului s(A)

s(A^T)=s(A)

lIs(A)Tl^mIs(A^m)

Daca si atunci l Is(A^-1)

daca si numai daca adica .

Calculul coeficientilor polinomului caracteristic se face cu metoda Leverrier.

Conform proprietatii 3) a spectrului al matricii A, daca atunci s(A^m) deci:

Intre sumele de puteri si coeficientii avem identitatile Newton:

unde

Cunoscand pe , , din identitatile Newton se obtin succesiv :

Programul POLCAR calculeaza pe din coeficientii matricii A cu metoda de mai sus.

In cazul ecuatia caracteristica are forma:

Avem unde :

Exemplu

Fie matricea

Se cer coeficientii polinomului caracteristic:

Solutie

Avem

Avem:

deci

deci

deci

Polinomul caracteristic al matricii A va fi cu radacinile ; ; care sunt valorile proprii ale matricii A.

Fie polinomul caracteristic al matricii A:

Intrucat operatiile din membrul doi au sens si pentru matrici, l poate fi si matrice.

De exemplu putem lua . In acest caz avem:

Teorema 1 (Hamilton-Cayley)

adica matricea A este radacina a polinomului sau caracteristic in care variabila l se considera matrice.

Demonstratie

Fie matricea asociata matricii , este formata cu complementii algebrici de ordin ai elementelor lui . Avem unde .

Toate elementele matricii sunt polinoame de grad in l deci avem: .

Relatia devine: sau:

Egalam coeficientii de acelasi grad ai lui l

Inmultind aceste relatii cu obtinem:

Adunand aceste relatii, dupa reduceri de termeni in memebrul intai rezulta:

Q.E.D.

2 Proprietatile si calculul vectorilor proprii

Pentru fiecare valoare proprie gasita , rezolvam sistemul omogen . Deoarece sistemul omogen are o infinitate de solutii X care sunt vectori proprii asociati valorii proprii .

Daca cu , eliminam ultimele linii secundare din matricea deci matricea capata forma: unde submatricea G de tip contine primele linii principale si ultimele coloane secundare ale matricii .

Avem vectorul propriu:

Multimea tuturor vectorilor proprii X asociati valorii proprii formeaza un subspatiu vectorial L(l₀ ) Rⁿ de dimensiune , numit subspatiu propriu al valorii proprii .

Dimensiunea a subspatiului propriu se numeste multiplicitatea geometrica a valorii proprii , fiind mai mica sau egala cu multiplicitatea algebrica a lui ca radacina a polinomului caracteristic

Teorema 2

Vectorii proprii ce corespund la valori proprii diferite, sunt liniar independenti.

Demonstratie

Fie si fie vectorii proprii corespunzatori acestor valori proprii. Presupunem prin absurd ca avem relatia de dependenta liniara:

Inmultim ambii membri la stanga cu si tinem cont ca .

Rezulta:

adica:

deci:

Inmultim ambii membri la stanga cu si tinem cont ca .

Obtinem:

Dupa astfel de inmultiri cu obtinem: si cum sunt diferite doua cate doua rezulta

Scriind relatia in alta ordine si repetand procedeul rezulta .

Q.E.D.

Exemple

Fie matricea: . Se cer valorile proprii , , si matricea S care are pe coloane vectorii proprii ai matricii A.

Solutie

Polinomul caracteristic are coeficientii:

Polinomul caracteristic este deci: si are radacinile: ; ; .

a)    Pentru avem

Sistemul omogen are acum forma: deci asa ca este vector propriu ce corespunde valorii proprii

b)    Pentru avem

Sistemul omogen are acum forma: adica:

Rezulta asa ca este vector propriu ce corespunde valorii proprii

c)    Pentru avem

Sistemul omogen are acum forma: deci asa ca este vectorul propriu ce corespunde valorii proprii .

Matricea ce are pe coloane cei trei vectori proprii va fi:

Se da matricea: . Se cer valorile proprii , , si matricea S care are pe coloane vectorii proprii ai matricii A.

Solutie

Ca si in exemplul 1) gasim polinomul caracteristic cu

;

a)    Pentru avem

Sistemul omogen are acum forma:

Rezulta asa ca ; sunt cei doi vectori ce corespund valorii proprii duble

b)    Pentru gasim ca si la punctul 1) vectorul propriu

Matricea vectorilor proprii este

Contraexemplu

Se da matricea . Se cer valorile proprii , , si matricea

S ce are pe coloane vectorii proprii ai matricii A.

Solutie

Polinomul caracteristic este cu radacina tripla

a)          Pentru avem

Avem :

Sistemul omogen are acum forma: sau

Rezulta deci este singurul vector propriu ce corespunde valorii proprii triple

Matricea A nu este diagonalizabila deoarece multiplicitatea geometrica a valorii proprii este in timp ce multiplicitatea algebrica a lui este 3.

3. Forma diagonala a unei matrici

Metoda vectorilor proprii

Matricile patratice de ordin n se numesc asemenea (Notatie A B) daca exista matricea patratica nesingulara de ordin n notata cu S astfel ca: B = S^-1 A S

Relatia de asemanare a matricilor patratice de ordin n, este relatie de echivalenta:

Reflexivitate: A A

In acest caz S = E deci A = E^-1 A E

Simetrie: A B T B A

Din B = S^-1 A S rezulta

Tranzivitate: A B si B C T A C

Din si rezulta .

In acest fel matricile patratice de ordin n se impart in clase de matrici asemenea intre ele.

Teorema 3

Matricile patratice de ordin n care sunt asemenea, au aceeasi urma, acelasi determinant si aceleasi valori proprii.

Demonstratie

deci matricile A si B au acelasi polinom caracteristic adica au aceleasi valori proprii . Q.E.D.

Matricea patratica de ordin n notata cu A se numeste diagonalizabila daca este asemenea cu o matrice diagonala adica exista matricea S de ordin n, nesingulara astfel ca matricea este matrice diagonala.

Teorema 4

Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) Matricea A este diagonalizabila

b) Vectorii proprii ai matricii A formeaza o baza in Rⁿ

c)    Multiplicitatea algebrica a oricarei valori proprii este egala cu multiplicitatea sa geometrica

d)   

Demonstratie

b) T a)

Fie baza formata cu n vectorii proprii ai matricii A.

Fie S matricea patratica de ordin n care are pe coloane vectorii proprii :

Avem :

Rezulta:

deci A este diagonalizabila.

a) T b)

Daca avem sau

Coloana a lui S satisface relatia deci este vectorul propriu ce corespunde valorii proprii .

b) T c)

S-a observat mai sus ca multiplicitatea algebrica a oricarei valori proprii este mai mare sau egala cu multiplicitatea sa geometrica. Rezulta ca suma multiplicitatilor geometrice ale tuturor valorilor proprii este mai mica sau egala cu n.

Suma a a multiplicitatilor geometrice ale tuturor valorilor proprii este egala cu numarul b al vectorul proprii liniar independenti ce corespund tuturor valorilor proprii ale lui A.

In conditiile punctului b) avem deci si asa ca multiplicitatile geometrice ale valorilor proprii ating valorile lor maxime si anume multiplicitatile lor algebrice.

Reciproc, in conditiile punctului c) avem deci si de unde rezulta punctul b)

b) T d)

Pentru orice XIRⁿ avem cu vectori proprii.

Grupand vectorii proprii care apartin aceleiasi valori proprii distincte rezulta

Aceasta suma este directa deoarece .

Rezulta . Rasturnand sagetile in rationamentul precedent rezulta

d) T b). Q.E.D.

Din teorema 4 rezulta descompunerea unica cu

asa ca unde sunt matrici simetrice de proiectie cu . Descompunerea se numeste descompunere spectrala.

Exemple

Matricea A cu valori proprii diferite ( pentru ) este diagonalizabila. In acest caz multiplicitatea algebrica si cea geometrica a oricarei valori proprii sunt egale cu 1.

Matricea normala (cu ) este diagonalizabila dupa cum rezulta din teorema 5 de mai jos.

In particular sunt diagonalizabile matricea simetrica (), cea antisimetrica () si cea ortogonala ().

O matrice patratica de ordin n este ortogonal-diagonalizabila daca matricea S din relatia este matrice ortogonala (). Pentru matrici normale se poate demonstra o teorema mai restrictiva ca teorema 4

Teorema 5

Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) A este matrice normala;

b)    A este matrice ortogonal-diagonalizabila;

c)    Cei n vectori proprii ai matricii A formeaza o baza ortogonala.

In continuare vom aborda doua clase particulare de matrici normale: matrici simetrice () si matrici ortogonale ().

Teorema 6

O matrice de ordin n, simetrica () are n valori proprii reale, simple sau multiple.

Demonstratie

Fie o valoare proprie l presupusa complexa si vectorul propriu X al lui l (si el cu componente complexe) ale matricii reale simetrice A.

Avem relatia . A fiind reala coincide cu conjugata sa complexa A: . Avem:

Pe de alta parte asa ca avem:

Rezulta: si cum: rezulta deci valoarea proprie l este reala. Q.E.D.

Exemple

Fie matricea simetrica: . Se cer valorile proprii reale , , si matricea S formata cu vectorii proprii pe coloane.

Solutie

Ca si in exemplele din sectiunea 1 gasim polinomul caracteristic: cu radacinile reale ; ;

Pentru obtinem vectorul propriu: ;pentru obtinem vectorul propriu ; pentru obtinem vectorul propriu

Avem

Impartind vectorii-coloana din S cu normele lor, obtinem matricea ortogonala:

Avem

Se da matricea simetrica: . Se cer valorile proprii , , si matricea S formata cu vectorii proprii pe coloane.

Solutie

Ca si in exemplele din sectiunea 1 gasim polinomul caracteristic: cu radacinile ; Pentru gasim vectorul propriu iar pentru gasim vectorii proprii: ; . Pentru ca vectorii proprii sa fie ortogonali cate doi, inlocuim pe cu care este tot vector propriu ce corespunde valorii proprii

Avem ;

Rezulta:

Se da matricea simetrica: . Se cer valorile proprii , , si matricea S care are pe coloane vectorii proprii ai matricii A.

Solutie

Ca si in exemplele din sectiunea 1 gasim polinomul caracteristic: cu radacinile ; ;

Faptul ca se datoreaza situatiei ca si .Pentru gasim vectorul propriu ; pentru gasim vectorul propriu iar pentru

gasim vectorul propriu deci si impartind coloanele lui S cu normele lor gasim matricea ortogonala:

Avem:

Programul VPROPRII calculeaza valorile proprii (toate reale) si vectorii proprii ai unei matrici simetrice .

Teorema 7

O matrice A patratica de ordin n care este ortogonala () are valorile proprii de modul 1.

Demonstratie

Daca A este matrice patratica de ordin n iar X,Y IRⁿ avem egalitatea produselor scalare:

Pentru relatia (1) devine:

Cum A este ortogonala avem deci rezulta:

sau:

Pe de alta parte relatia devine:

(4)

Comparand (3) cu (4) rezulta sau . Q.E.D.

Exemple

Fie matricea ortogonala: . Se cer valorile proprii , , si matricea S care are pe coloane vectorii proprii ai matricii A.

Solutie

Ca si in sectiunea 1 gasim polinomul caracteristic cu radacinile si

Pentru gasim vectorii proprii si

Pentru gasim vectorul propriu

Pentru ca vectorii proprii sa fie ortogonali cate doi, inlocuim pe cu care este tot vector propriu ce corespunde valorii .

Avem

Impartind coloanele lui S cu normele lor, obtinem matricea ortogonala:

Avem

Se da matricea ortogonala: . Se cer valorile proprii , , si matricea S ce are pe coloane vectorii proprii ai matricii A.

Solutie

Ca si mai sus, gasim polinomul caracteristic cu radacinile si

Pentru obtinem vectorii proprii ; iar pentru obtinem vectorul propriu

Vectorii proprii sunt ortogonali doi cate doi deci si . Avem

Metoda Lagrange-Jacobi

Fie A o matrice patratica de ordin n. Minorii principali ai matricii A au forma: ; ; . Pentru calculul acestor minori principali se poate folosi programul de calculator DETPRIN . Fie .

Pentru matrici A simetrice () cu D D D_n =, in afara de metoda vectorilor proprii exista si o a doua metoda de diagonalizare numita metoda Lagrange-Jacobi. Matricii A i se aplica algoritmul Gauss (nu se imparte linia pivotului la pivot dar se aplica regula dreptunghiului cu ajutorul pivotului) ajungandu-se la forma superior-triunghiulara:

Matricea inversa R = S ^-1 este tot superior-triunghiulara:

Cu schimbarea de variabila X = R.Z functia f(X) = X^T.A.X devine f(Z) = Z^T.( R^T.A.R).Z =Z^T.B.Z unde B = R^T.A.R. Matricile A si B sunt deci congruente(vezi sectiunea 5)

Relatia B = R^T.A.R conduce la forma diagonala:

Programul LAGJAC face aceste calcule.

Relatia B = R^T.A.R cu R = S^-1 devine A = S^T.B.S si cu notatiile : S^T = L ; B.S = U

obtinem descompunerea LU : A = L.U unde L este matrice inferior-triunghiulara iar U este

matrice superior-triunghiulara, ambele nesingulare (vezi si sectiunea 5.1.2) .

Minorii principali sunt folositi pentru a caracteriza matricile simetrice pozitiv definite respectiv negativ definite.

Teorema 8 (Sylvester)

Matricea simetrica A este pozitiv definita daca si numai daca

Matricea simetrica A este negativ definita daca si numai daca

Demonstratie

Vom arata ca matricea A este pozitiv definita daca si numai daca matricea diagonala are elementele ( R este matrice patratica

nesingulara de ordin n).

In adevar, prin transformarea liniara cu ZIRⁿ si devine . Daca rezulta deci .

Reciproc, daca fie XIRⁿ , pentru care deci asa ca .

Conform metodei Lagrange-Jacobi avem:

Cum , A este negativ definita daca si numai daca .

Deasemenea A este negativ definita daca -A este pozitiv definita deci . Cum rezulta . Q.E.D.

Exemple

Fie matricea simetrica nesingulara: . Sa se aduca matricea A la forma diagonala prin metoda Lagrange-Jacobi.

Solutie

Aplicam regula dreptunghiului fara a imparti linia pivotului la pivot.

Rezulta . Prin inversare obtinem: . Rezulta .

Avem , deci ; deci ; deci

Avem deci matricea simetrica A este pozitiva definita.

Se da matricea simetrica: . Sa se aduca matricea A la forma diagonala prin metoda Lagrange-Jacobi.

Solutie

Aplicam regula dreptunghiului fara a imparti linia pivotului la pivot.

Rezulta . Prin inversare avem:

Rezulta.

Avem ; deci ; deci ; deci asa ca matricea simetrica A este negativ definita.

4 Descompunerea singulara a unei matrici

Fie o matrice dreptunghiulara A de tip si .

Presupunem ca m n.

Matricea Gram a matricii A este . Ea este matrice simetrica de ordin n si este nenegativ definita:

Matricea Gram are acelasi ca si matricea A si are r valori proprii strict pozitive: iar restul valorilor proprii sunt nule:

Fie matricea ortogonala de ordin n care are pe coloane versorii proprii ai matricii Gram .

formeaza o baza ortonormala in subspatiul liniar Im(A^T) Rⁿ iar formeaza o baza ortonormala in subspatiul liniar Ker(A) Rⁿ, ortogonal pe Im(A^T) :

Valorile strict pozitive se numesc numere singulare ale matricii A.

Fie vectorii-coloana din R^m:

Avem deci formeaza o baza ortonormala in subspatiul liniar Im(A) R^m

Completam pe cu vectorii-coloana astfel ca sa fie o baza ortonormala in R^m.

Avem deoarece .

Fie matricea ortogonala V de ordin m care are pe coloane vectorii :

Fie D matricea diagonala de tip : care este

nenegativ definita. Avem:

Inmultind aceasta relatie la dreapta cu (U = matrice ortogonala) obtinem descompunerea singulara a matricii A:

A = V D U^T

Pentru vom utiliza pe in locul lui A.

Fie de tip

Se arata ca avem: A⁺ = U D⁺ V^T deci am obtinut o noua metoda de calcul a inversei generalizate a matricii dreptunghiulare A.

Exemplu

Fie matricea cu . Avem cu valorile proprii ; deci numerele singulare ale matricii A sunt ; .

Avem iar matricea ortogonala a versorilor proprii pentru este: . Avem ;

Completam pe cu vectorul-coloana ortogonal pe si cu .

Rezulta

Avem care este matrice ortogonala. Avem deasemenea: deci descompunerea singulara a matricii A va fi: . Avem deci .

Fie in descompunerea singulara cazul particular m = n, deci A, U, V, D sunt matrici patratice de ordin n iar U, V sunt ortogonale. Avem asa ca:

Fie si . P este nenegativ definita si are aceleasi valori proprii cu iar Q este ortogonala.

Descompunerea singulara se transforma in descompunerea polara a matricii patratice A:

A = P Q

Observam ca A este matrice normala daca si numai daca P.Q=Q.P

In particular daca deci A este matrice patratica nesingulara avem:

P=(A.A^T)^1/2 si

Inertia matricilor simetrice congruente

Fie A o matrice simetrica de ordin n. Daca S este o matrice de ordin n nesingulara, matricea se numeste congruenta cu A.

Matricea B este tot simetrica: deoarece A este simetrica ().

Relatia de congruenta a matricilor simetrice este o relatie de echivalenta:

Reflexivitate: A este congruenta cu A deoarece unde E este matricea-

unitate (nesingulara)

Simetrie: Daca A este congruenta cu B atunci B este congruenta cu A deoarece implica adica cu nesingulara.

3) Tranzitivitate: Daca A este congruenta cu B si B este congruenta cu C atunci B este congruenta cu C deoarece si cu S, R = nesingulare, implica

Observam ca asemanarea matricilor simetrice este un caz particular al congruentei lor pentru cazul cand matricea S este ortogonala () deci .

Teorema 9 (a inertiei)

Matricile simetrice congruente A si pastreaza:

a) rangul:

b) numarul valorilor proprii nenule si al valorilor proprii nule .

c) numarul valorilor proprii pozitive si al valorilor proprii negative.

Demonstratie

a)          Avem :

Mai intai .

In plus rang(A) = rang(ASS^-1) rang(AS)

In mod analog avem rang(S^TA) = rang(A)

Rezulta rang(S^TAS) = rang(AS) = rang(A)

b) Matricea simetrica A este ortogonal-diagonalizabila deci exista matricea ortogonala (nesingulara) Q astfel ca este matrice diagonala avand pe diagonala valori proprii nenule si valori proprii nule.

c)

Fie mai intai cazul cand A = nesingulara.

Conform descompunerii polare, orice matrice patratica nesingulara are forma , unde Q este ortogonala si R este superior triunghiulara cu diagonala strict pozitiva.

Fie matricea cu si fie . Matricile , , sunt nesingulare si ; .

Coeficientii polinomului caracteristic al matricii sunt polinoame in raport cu t deci valorile proprii ale lui sunt functii continue de t. In ele sunt valorile proprii ale lui deci sunt valorile proprii ale lui .

Pentru valorile proprii ale lui isi pastreaza semnul.

Fie subcazul cand matricea A este singulara si fie valorile proprii (toate reale) ale lui A:

Fie deci pentru orice valorile proprii ale lui adica vor nenule. Conform punctului b) matricile si au acelasi numar de valori proprii pozitive respectiv negative.

Aceste valori proprii sunt functii continue in raport cu t deci pentru cele pozitive devin nenegative iar cele nenegative devin nepozitive. In plus si A au acelasi numar de valori proprii nenule. Rezulta ca A si au acelasi numar de valori proprii pozitive si acelasi numar de valori proprii negative (fiecare fiind socotita cu multiplicitatea sa). Q.E.D.

Un polinom patratic (forma patratica) are matricea coeficientilor simetrica de ordin n: . Polinomul patratic are forma vectoriala unde X este vector-coloana din Rⁿ .

Trecand de la baza standard la o alta baza avem conform sectiunii 2.2 relatia unde este matricea de trecere de la baza E la baza F. Rezulta deci in baza F polinomul patratic are matricea simetrica a coeficientilor , congruenta cu A.

Conform teoremei inertiei, la schimbarea bazei, numarul valorilor proprii pozitive si respectiv negative ale matricii coeficientilor lui ramane acelasi.

Exemplu

Matricile simetrice si sunt congruente deoarece cu nesingulara avem . A are valorile proprii 1 si -1 iar B are valorile proprii 2 si -1 ceea ce confirma teorema inertiei.

Rezumat

In acest capitol se definesc notiunile de valoare proprie si vector propriu al unui operator liniar , se dau proprietatile si modul lor de calcul.

Se prezinta forma diagonala a unei matrici cu referire la matricile simetrice si ortogonale.

Se prezinta descompunerea singulara a unei matrici si descompunerea polara a unei matrici simetrice. Capitolul se incheie cu legea inertiei matricilor simetrice congruente.

7 Intrebari

1.Ce sunt valoarea proprie si vectorul propriu al unei matrici ?

2. Cum arata forma diagonala a unei matrici simetrice ?

3. Cum se realizeaza descompunerea singulara a unei matrici ?

Ce afirma legea inertiei pentru matrici simetrice congruente ?

8 Bibliografie

Stanasila O. " Analiza liniara si geometrie "Vol. I - II,Editura ALL ,2000 - 2001

Cenusa Gh. si col." Matematici pentru economisti " Editura CISON,2000

Cenusa Gh. si col." Matematici pentru economisti - culegerede probleme" Editura CISON,2000

Ene D. " Matematici (I) " Editura CERES , 2004

5. Gogonea S. , Ene D. " Analiza numerica " Editura Cartea Universitara , 2005

6. Ene D. , Gogonea S. " Metode numerice "Editura Cartea Universitara , 2005