MATEMATICI FINANCIARE

Liceul George Calinescu

MATEMATICI

FINANCIARE

CUPRINS

1. ELEMENTE DE CALCUL FINANCIAR

-1.1 Procente

-1.2 Dobanda simpla.Dobanda compusa

-1.3 Taxa pe valoarea adaugata (TVA)

-1.4 Costul de productie.Pret de cost al unui produs

-1.5 Profit

-1.6 Amortizari

-1.7 Buget familiail.Buget personal

- Exercitii si probleme

2. ELEMENTE DE STATISTICA

-2.1 Elemente de limbaj in statistica. Date statistice

-2.2 Culegerea, inregistrarea si clasificarea datelor statistice

-2.3 Serii statistice. Frecvente

-2.4 Interpretarea Datelor Statistice Prin Parametri de Pozitie

- Exercitii si probleme

BIBLIOGRAFIE

Marius Burtea, Georgeta Burtea - MATEMATICA (manual clasa a X-a)

Mircea Ganga - MATEMATICA (manual clasa a X-a)

1. ELEMENTE DE CALCUL FINANCIAR

1.1 PROCENTE

Intalnim adesea in vorbirea curenta exprimari de felul : 1) intr-o clasa sunt 70% baieti si restu (30%) fete; 2)preferintele electorale pentru partidul P1 sunt 25%, pentru partidul P2 sunt de 35%, pentru artidul P3 sunt 30%, iar pentru restul partidelor 10%; 3)sansele de castig ale echipei A in detrimentul echipei B sunt de 30%; etc.

In toate enunturile de mai sus apare notiunea de procent (p% - citim p la suta). In toate cazurile marimile se compara cu 100.

DEFINITII:

Un raport de forma p/100, p>= 0 se numeste raport procentual;

● p/100 se noteaza p% si se citeste p la suta;

● 1/100 se numeste procent, iar p/100 reprezinta p procente.

Valoarea la care se face raportarea procentuala se numeste valoare de baza.

Valoarea care se compara cu valoarea de baza se numeste valoare procentuala.

In general valoarea de baza (a) se asociaza cu 100, iar valoarea procentuala (b) se asociaza cu un numar p. Astfel avem urmatoarea asezare a datelor:

a100

bp

_____________

De unde rezulta ca b/a=p/100.

PROBLEME:

Se considera doua vase de 5 l si 10 l. In primul vas se afla 3 l de apa, iar in al doilea vas se afla 4 l de apa.Sa se exprime in procente cat este gradul de umplere al fiecarui vas.

Rezolvare: Pentru primul vas volumul sau (5 l) reprezinta valoarea de baza, iar gradul de umplere (3 l) reprezinta valoarea procentuala. Atunci, pentru un vas de 100 l avem un grad de umplere egal cu p. Aplicand regula de trei simpla gasim:

5 l ..3 l

100 lp l

_____ _______ ______ ______________

P=3×100/5=60% l

Deci 60% este raportul procentual de umplere al primului vas, adica mai mult de jumatate din vas este cu apa.

Procedand analog pentru al doilea vas vom gasi p=4×100/10=40%

Un televizor costa 160 $.Cu ocazia sarbatorilor de Craciun se acorda o reducere de 15%. Cat trebuie platit pentru televizor?

Rezolvare: Cumparatorul plateste cu 15/100 × 160 = 24 $ mai putin. Deci, pentru un televizor se plateste 160 24 = 136 $.

Aflarea a p % dintr-un numar

Problema:

Din salariul de 7 540 000 lei, un angajat contribuie la fondul de asigurari sociale si sanatate cu 7%. Cu ce suma contribuie salariatul?

Rezolvare: Vom rezolva problema prin 2 procedee:

a)     se foloseste regual de trei simpla:

7 540 000.. 100

b     .. 7

_____ _______ ______ ______________

Rezulta ca b=7 540 000 × 7/100 = 527 800 (lei)

b)     se determian cat la suta reprezinta 7% din 7 540 000 efectuand produsul 7/100 × 7.540 000 = 527 800 (lei)

□RETINEM!

Pentru a determina p% dintr-un numar a se procedeaza astfel:

-se aplica regula de trei simpla;

-se inmulteste p/100 cu numarul a si se obtine b=p/100 × a

Aflarea numarului cand se cunoaste p% din el

Probleme:

Un elev citeste 180 de pagini dintr-o carte ceea ce reprezinta 60% din numarul total de pagini ale cartii.Cate pagini are cartea?

Rezolvare:

Daca notam cu x numarul de pagini ale cartii, atunci din enunt 60/100 × x reprezinta cele 180 de pagini. Avem ecuatia 60/100 × x = 180. De aici rezulta ca x = 300. Deci, cartea are 300 pagini.

Dupa o reducere de 20% pretul unui tricou este de 360 000.Care a fost pretul inainte de reducere?

Rezolvare:

a)     Fie a pretul initial al tricoului. Atunci noul pret reprezinta 80/100 din pretul initial. Asadar, 360 000 = 80/100 × a. Rezulta ca a = 360 000 × 80/100 = 450 000

b)     Folosim regula de trei simpla :

a.. 100

360 000 80

__________ ______ ____

a = 360 000 × 100/80 = 450 000.

□RETINEM!

Pentru a afla numarul a cand se cunoaste p% din el este b se procedeaza astfel:

-p/100 × a = b => a = b × 100/p;

-se aplica regula de trei simpla ;

Aflarea raportului procentual

□RETINEM!

Pentru a determina cat la suta din a reprezinta b se procedeaza prin una din modalitatile:

se scrie p/100 × a = b si se calculeaza p/100 = b/a ;

se afla din proportia b/a = p/100 ;

se aplica regula de trei simpla.

In practica in afara de procente se mai folosesc si alte rapoarte remarcabile cum ar fi rapoartele cu numitorul 1000. Un raport de forma p/1000 notat p se numeste promila.

DOBANDA SIMPLA DOBANDA COMPUSA.

A.   Dobanda Simpla

In circulatia valorilor banesti se obisnuieste ca pentru o suma de bani depusa sau imprumutata, sa se plateasca la termenul scadent o suma majorata ca urmare a serviciului adus de aceasta suma.

Suma S se numeste capital initial si reprezinta suma depusa sau imprumutata initial.

Suma Sn restituita dupa o perioada de timp n, se numeste capital final.

Diferenta Sn - S dintre capitalul final si cel initial se numeste DOBANDA!

Dobanda depinde de mai multi factori cum ar fi :

marirea capitalului folosit;

perioada de timp in care capitalul a fost folosit;

procentul de majorare convenit la inceputul perioadei;

alti factori.

Daca dobanda oferita este direct proportionala cu suma initiala S si cu durata operatiunii, atunci aceasta dobanda se numeste dobanda simpla si se noteaza Ds.

Sa calculam dobanda simpla generata de capitalul initial S intr-un an.

Pentru aceasta vom folosi regula de trei simpla pentru un enunt de forma: daca pentru 100 de unitati monetare (u. m.) se acorda o majorare de r unitati monetare pe an, cate unitati monetare se acorda pentru o suma S?

100(u.m.).r(u.m.)

S (u.m.).Ds?

_____ _______ ______ _______________

ð    Ds = s × r/100 (1)

Cu ajutorul formulei (1) se deduce modul de calcul al dobanzii simple generate de capitalul S pe o perioada de n ani cu rata dobanzii r%.

Ds=S × r/100 × n (2)

Daca S este capitalul initial, Ds este dobanda simpla generata de acest capital pe durata a n ani cu rata dobanzii r%, atunci capitalul final Sn va fi :

Sn= S+Ds = S(1 + r/100 × n) (3)

Daca anul este impartit in k parti egale si t_k este un numar de astfel de parti pentru care se calculeaza dobanda simpla, atunci formula (2) devine:

Ds= S × r/100 × t_k/k (4)

Problema:

Un capital de 25 de milioane de lei este plasat in regim de dobanda simpla pe o perioada de 3 ani cu rata dobanzii de 20%.

a)     Ce dobanda genereaza acest capital pe perioada plasamentului?

b)     Cat ar trebui sa fie rata dobanzii pentru ca acest capital sa aduca in doi ani o dobanda egala cu cea obtinuta dupa trei ani?

Rezolvare:

a)     Elementele cunoscute din formula dobanzii sunt:

S= 25 000 000 lei; r= 20% si n= 3 ani.Rezulta ca dobanda simpla este Ds = S × r × n / /100= 25 000 000 × 20/100 ×3 = 15 000 000 (lei)

b)     In acest caz se cunoaste S = 25 000 000 lei, n= 2 ani, Ds = 15 000 000 lei. Din formula dobanzii simple se obtine procentul de dobanda:

r = Ds = 15 000 000 = 15/50=30/100.Asadar, r=30%.

100 s×n 25 000 000×2

B.Dobanda Compusa

Se presupune ca suma de 5 milioane de lei este depusa intr-o banca pe perioada a 2 ani cu un procent de majorare anual de 15%. Daca pentru calculul dobanzii in al doilea an se ia in considerare nu numai suma initiala ci si dobanda generata de ea in primul an, adica suma totala de 5 000 000 + 750 000, se spune ca operatiunea bancara se desfasoara in regim de dobanda compusa.

In cazul de fata, la sfarsitul celor 2 ani capitalul final va fi :

5 750 000 + 5 750 000 × 15/100 = 6 612 500 lei

Definitie : punem ca o suma de bani este plasata in regim de dobanda compusa atunci cand la sfarsitul primei perioade a plasamentului, dobanda simpla generata de suma este adauga la suma initiala pentru a produce la randul ei dobanda in perioada urmatoare.

Formula de calcul pentru dobanda compusa Dc generata de capitalul S dupa n ani este :

Dc = S( Rⁿ 1 ) , unde R= 1 + r/100

Problema:

Care este rata dobanzii pentru ca o suma plasata in regim de dobanda compusa sa vcreasca cu 44% in 2 ani?

Rezolvare:

Fie S suma initiala S2 suma finala.

Din enunt avem ca S2=S+44/100×S = 36/25 × S.

Totodata avem S2=S ( 1 + r/100)² si ca urmare se stabileste egalitatea 36/25 × S = S(1+r/100) ² din care se obtine r/100 = 1/5 = 20%.

1.3 TAXA PE VALOAREA ADAUGATA

(T.V.A)

Taxa pe valoarea adaugata (T.V.A) reprezinta un venit la bugetul de stat platit de consumatorii de bunuri si servicii.Ea reprezinta un impozit care se aplica asupra operatiilor de vanzare-cumparare.Ea se aplica numai asupra valorii adaugate de fiecare agent economic, adica se aplica asupra diferentelor dintre pretul de vanzare si cel de cumparare, ori de cate ori acest lucru se intampla.

Iata cateva dintre categoriile de operatii care constituie obiect al impozitarii T.V.A:

livrari de bunuri mobile si imobile, energie electrica, gaze, agent frigorific;

prestarile de servicii inclusiv operatiile de leasing;

vanzare de bunuri cu plata in rate;

Principiul care sta la baza taxei pe valoarea adaugata il constituie faptul ca bunurile si serviciile din tara sau din import destinate beneficiarilor din tara noastra sunt supuse TVA, in timp ce bunurile si serviciile destinate exportului nu li se aplica TVA.

In aceste cazuri distingem doua cote de impozitare:

a)     cota normala de 19%, pentru operatiile privind livrarile de bunuri mobile si transferueile proprietatii bunurilor imobile efectuate in tara, prestatiile de servicii precum si importul de bunuri, cu esceptia celor prevazute la cota zero.

b)     cota zero pentru exportul de bunuri si prestarile de servicii legate direct de exportul de bunuri efectuat de agentii economici cu sediul in tara noastra, transportul de agenti autorizati, transportul de marfa si de persoane in si din aeroporturile din Romania cu nave si aeronave romanesti comandate de beneficiari cu sediul in strainatate, etc.

Pentru calcularea si decontarea TVA se disting doua categorii de operatii:

T.V.A deductibila (in amonte) la cumpararea bunurilor si serviciilor (notata T.V.A.D);

T.V.A colectata (in aval) la vanzarea bunurilor si serviciilor (notata T.V.A.C);

Daca T.V.A.D > T.V.A.C, atunci avem de-aface cu o datorie la bugetul de stat, adica TVA de plata.

In caz contrar spunem ca este vorba de o recuperare de la bugetul de stat, adica de TVA de recuperat.

Despre aceasta analiza se spune ca am facut regularizarea TVA la sfarsitul perioadei analizate.

Problema:

Care este pretul de vanzare al unei marfi care costa 445 000 lei fara TVA, cand procentul TVA este 19%?

Pret vanzare = Pret produs + TVA= 445 000 + 19_ × 445 000 = 529 550 lei.

1.4 COSTUL DE PRODUCTIE. PRET DE COST AL UNUI PRODUS

Prin cost de productie se inteleg toate cheltuielile realizate de un agent economic pentru producerea si comercializarea de bunuri sau servicii.

Cheltuielile pot fi fixe (materiale amortizarea, chirie etci si salariale) si variabile (materiale combustibili, materie prima etc. si salariale).

Cheltuielile pot fi raportate la unitatea de produs, cand il numim cost unitar (sau cost total de mediu CTM) si se exprima prin relatia : CTM = CT / Q (unde CT sunt cheltuielile totale (fixe si variabile) iar Q este productia numarul de produse -)

De aici putem defini:

Costul fix mediu (CFM) care se calculeaza dupa formula CFM = CF / Q, unde CF sunt costurile fixe, iar Q productia.

Costul variabil mediu (CVM) care se calculeaza dupa formula CVM = CV / Q, unde CV sunt costurile variabile.

Problema:

Pentru producerea a 500 de jucarii o interprindere face urmatoarele cheltuieli: materii prime si materiale : 300 $, combustibil si energie 500 $, chiria 100 $, salarii directe 6000 $, amortizarea capitalului fix 1000 $, iluminat 500 $, incalzirea 400 $ desfacerea produselor 1000$. Sa se determine CF, CV, CT, CFM, CVM, CTM.

Rezolvare:

Avem:

CF=chirie + amortizare + iluminat + incalzire

= 100 + 1000+ 500 + 400 = 2000 $

CV=materii prime si materiale + combustibil si energie + salarii

=3000 + 500 + 6000 = 9 500 $

CT=CF + CV + costuri desfacere produse

=2000 + 9500 + 1000 = 12 500 $

CFM=CF / Q = 2000 / 500 = 4 $

CVM=CV / Q = 9500 / 500 = 19 $

CTM=CT/ Q = 12500 / 500 = 25 $.

1.5 PROFIT

DEFINITIE: Profitul (notat cu P) reprezinta diferenta dintre venituri (notate cu V) si cheltuieli (sau costul total notat cu CT).

Deci P=V- CT

Tot profitul il putem calcula ca diferenta intre valoarea productiei si costul total. In acest caz P = p × Q CT unde p este pretul unitar, iar Q este productia.

Daca P se calculeaza pe o bucata (unitate) de produs, atunci vorbim de profit unitar, iar daca P se calculeaza pe toata productia, atunci spunem ca este vorba de profit total. Profitul astfel calculat il numim profit brut.Daca din profitul brut se scade impozitul pe profit se obtine ceea ce se cheama profitul net.Deci :

Pnet = Pbrut impozit pe profit

Profitul este un venit care rasplateste munca agentului economic.

DEFINITIE: Prin profit normal (sau ordinar) intelegem profitul care asigura agentului economic posibilitatea de a-si continua activitatea.

Profitul caracterizeaza calitativ si cantitativ intreaga activitate a firmei.

Iata cateva din caile de crestere a profitului :

reducerea costului de productie (economie la energie, eficienta maxima a muncii, etc)

productivitatea muncii ( contribuie la reducerea costurilor, dinamica cheltuielilor se obtine o productie mai mare intr-o unitate de timp )

promovarea metodelor moderne de management si productie a muncii (aprovizionarea la timp si echilibrata din productie, utilizarea la maxim a timpului de lucru de catre salariati etc.)

reducerea cheltuielilor de productie etc.

Al doilea indicativ calitativ pentru un agent economic, pe langa profit, il reprezinta rata profitului (r_p)

DEFINITIE: Numim rata profitului, raportul dintre profit ( P ) si costurile totale ( CT ).

Deci, r_p = P / CT × 100 (%)

Pentru rata profitului se mai utilizeaza formula :

r_p = P / CA × 100 (%), unde CA este cifra de afaceri, CA = p * Q.

Problema:

Un agent economic a vandut produse de 15 milioane lei.Rata profitului fiind de 25%, determinati profitul.

Rezolvare:

Utilizam formula care da rata profitului

r_p = P / CT = 25 / 100

De aici P / P+CT = 25 / 125 sau P / 15 000 000 = 1/5 deci P = 3 000 000 lei

1.6 AMORTIZARI

Auzim adesea ca masina X si-a amortizat investitia, aceasta insemnand ca dupa un timp de functionare masina a realizat produse a caror valoare acopera costul masinii.Timpul in care s-a realizat recuperarea integrala a valorii investitiei se numeste termen de amortizare. Daca aceasta perioada se refera la un an atunci o numim amortizare anuala. De obicei se considera ca amortizarea anuala este aceeasi in fiecare an din durata termenului de amortizare si spunem ca amortizarea se face in rate egale.

Daca V este valoarea investitiei, T termenul de amortizare, atunci A amortizarea anuala este egala cu A = V / T.

Rata anuala de amortizare are exprimarea:

r = A_ × 100 (%).

V

Preobleme:

Valoarea unui televizor este de 6 000 000 lei, iar amortizarea anuala este de 1 500 000 lei. Determinati termenul de amortizare si rata anuala a amortizarii.

Rezolvare:

Avem T= V _ =6 000 000 / 1 500 000 = 4 ani si rata anuala a amortizarii :

A

R = 1 500 000_ × 100 = 25 %

6 000 000

Valoarea unui utilaj este de 5 600 u.m. , iar amortizarea anuala este de 700 u.m. Sa se determine termenul de amortizare si rata anuala a amortizarii.

Rezolvare:

Amortizarea anuala a utilajului este A = V / T , relatie din care se obtine T= V/ A. Inlocuind V = 5 600 u.m., A = 700 u.m., se obtine timpul de amortizare T = 8 ani.

Rata anuala a amortizareii este R = A / V × 100 = 70 000 / 1 500 = 12,5 (%).

1.7 BUGETUL PERSONAL. BUGETUL FAMILIAL

Bugetul personal si bugetul familial reprezinta sisteme de evidenta, de inregistrare sistematica si cronologica a veniturilor si cheltuielilor unei persoane, respectiv unei familii pe o perioada de timp ( de obicei un ani ) .

In fundamentul bugetului personal, respectiv familial se au in vedere mai multi factori:

nivelul veniturilor categoriilor sociale ;

numarul de persoane ;

tipul de ocupatii profesii ;

mediul rural/urban ;

structura consumului etc. ;

Aceste sisteme de evidenta sunt utilizate in evaluarea costului vietii, in evaluarea puterii de cumparare a unei persoane sau familii, in evaluarea nivelului de trai intr-o anumita perioada, in reglarea consumurilor in raport cu veniturile etc.

EXERCITII SI PROBLEME

La o banca un deponent pune suma de 100 000 lei cu un procent al dobanzii de 15%.Care este dobanda obtinuta dupa un an? Dar dupa trei ani?

Rezolvare:

Dupa un an dobanda este egala cu 100 000 × 15/100= 15 000 lei, iar dupa 3 ani valoarea aceteia este egala cu 3× 15 000 = 45 000 lei.

Sa se determine procentul dobanzii, daca o suma de 12 000 u.m aduce in sase ani o dobanda de 2 880 u.m. ?

Rezolvare:

Aici S= 12 000 u.m., D= 2880, n = 6. Din formula dobanzii simple rezulta:

P=_100×D_= 4

S × n

Ceea ce inseamna ca procentul anul este de 4%.

Suma de 2 000 000 lei a fost depusa la o banca (cu dobanda simpla) cu procentele anuale 6%,7%,8& pentru perioada de 30,60 si respectiv 90 de zile. Dobanda obtinuta pe perioada de 180 ( = 30 +60 +90 ) zile este egala cu:

S = 2 000 000 (30 × 6 + 60 × 70 + 90 × 8) = 73 333 lei.

100 × 360

O persoana fizica imprumuta suma de 80 de milioane de lei cu rata dobanzii simple de 24%.

a)     Ce suma trebuie restituita dupa 75 de zile?

b)     Cat timp poate pastra suma imprumutata, astfel incat la termenul scadent sa fie platita dobanda de 6 400 000?

Rezolvare:

a)     Vom considera faptul ca anul are 360 de zile astfel inct calculele sa fie mai simple.

In aceasta situatie, dobanda simpla generata de capitalul de 80 de milioane pe 75 de zile cu procentul de 24% este:

Ds = S × r × t₃₆₀ = 80 × 10⁶ 24_ × 75_ = 4 000 000 lei.

100 360 100 360

b) Din forumla dobanzii simple se determina n = Ds__. Se obtine n=1/3, adica

S × r %

n = 4 luni.

Sa se determine capitalul obtinut dupa 7 ani prin depunerea intr-o banca a sumei de 3000 u.m. cu o dobanda compusa de 4%.

Rezolvare:

Acem C₇ = 3000 (1 + 0, 04)⁷ = 3947,80 u.m.

Un cumparator trebuie sa stie ca daca vrea sa cumpere un televizor care costa S = 5 300 000 lei fara TVA, atunci el mai adauga inca 19% din S, adica 19 / 100 inmultit cu S = 1 007 000 lei, adica in final el plateste pentru achizitionarea televizorului suma finala:

S_f = S + _19_ × S = 6 307 000 lei.

100

O societate de prestari servicii realizeaza intr-o luna consumuri fixe de 6 000 u.m. consumuri variabile, reprezentand 5/2 din consumurile fixe, iar costurile de distributie valoreaza 420 u.m. Sa se determine:

a)     costul de productie si costul total;

b)     costurile medii CFM, CVM, CTM stiind Q = 1 500.

Rezolvare:

a)     Avem CP = CF + CV= 6 000 +_5_ × 6 000 = 21 000 (u.m.)

2

CT = CP + CD = 21 000 + 420 = 21 420 (u.m.)

b)     Se obtine CFM= 4 u.m. , CVM = 10 u.m. , CTM = 14,28 u.m.

2. ELEMENTE DE STATISTICA

Statistica este disciplina care se ocupa cu culegerea, inregistrarea, gruparea, analiza si interpretarea datelor referitoare la un anumit fenomen precum si cu formularea unor previziuni privind comportarea viitoare a acestuia.

Activitatea de culegere si inregistrare a datelor referitoare la un fenomen face obiectul statisticii descriptive sau statisticii formale.

Activitatea de grupare, de analiza si de interpretare a datelor precum si formularea unor previziuni priviind comportarea viitoare a unui fenomen reprezinta obiectul statisticii matematice.

2.1 Elemente de limbaj in statistica. Date Statistice

Definitii

Multimea pe care se realizeaza un studiu statistic se numeste populatie statistica.

Elementele componente ale unei poulatii statistice se numesc unitati statistice sau indivizi.

Numarul total de unitati statistice se numeste efectivul total al populatiei statistice.

O parte a populatiei statistice aleasa special pentru a fi studiata se numeste esantion.

Proprietatea sau indicatorul in functie de care se cerceteaza o populatie statistica se numeste caracteristica sau variabila statistica.

O caracteristica se numeste caracteristica calitativa daca nu poate fi masurata (valoarea ei nu se exprima numeric).

Ex: media generala, calificativul, profesia

O caracteristica cantitativa se numeste discontinua sau discreta daca nu poate lua decat valori numerice izolate.

O caracteristica cantitativa care poate lua orice valoare dintr-un interval de lungime finita sau infinita se numeste caracteristica cantitativa continua.

Intervalel in care o caracteristica ia valori se numesc grupe sau clase de valori.

Ex: a) Nota la teza.media generala sunt caracteristici cantitative discrete.

b) Inaltimea este o caracteristica in functie de care poate fi studiat un grup.

2.2 Culegerea, Inregistararea si Clasificarea Datelor Statistice

Sa consideram studiul efectuat asupra unui grup de sportivi dupa inaltime (exprimata in centimetri).

Rezultatele masuratorii sunt inregistrate in ordinea in care a decurs masuratoare si sunt asezate in urmatorul tabel:

Sub aceasta forma datele inregistrate sunt greu de analizat.De aceea este necesara o alta grupare sau clasificare a datelor.De exemplu, sa asezam aceaste date in ordinea crescatoare a inaltimi sportivilor consemnand cati sportivi au o anumit inaltime.Se obtine urmatorul tabel:

Cu ajutorul acestei clasificari a datelor se pot obtine niste concluzii mai rapide privind particularitatile acestui grup.

Rezultatele analizei statistice pot fi obtinute uneori mai usor daca se practica o alta grupare a datelor statistice.

De exemplu se poate face o grupare a valorilor caracteristicii studiate in clase de valori:

Cu ajutorul acestui tabel de date se pot obtine cu usurinta diferite informatii despre grupul de studiu, ca de exemplu:

-sunt 60 de sportivi

-cei mai multi sportivi au inaltimea in clasa de valori [195,200), urmand cei cu inaltimea in clasa de valori [180,185) etc.

-9 sportivi au inaltimea in clasa de valori [170,175) si reprezinta 15% din efectivul populatiei statistice;

-exista 45 de sportivi cu inaltimea sub 95 cm etc.

Valoarea absoluta a diferentei extremitatilor unei clase de valori se numeste amplitudinea clasei.

2.3 Serii Statistice. Frecvente

Multimea tututor perechilor (xi, ni), 1≤ i ≤ p formeaza o serie statistica cu o singura variabila.

Numarul ni de unitati statistice corespunzatoare valorii xi a caracteristicii sau a unei clase de valori se numeste frecventa absoluta a valorii xi, respectiv frecventa absoluta a clasei de valori considerate.

Rezulta ca

Modul de prezentare a unei serii statistice cu o variabila statistica este sub forma unui tabel orizontal sau vertical care cuprinde valorile variabilei statistice sau clasele de valori si frecvntele absolute corespunzatoare:

Se spune ca aceste tabele definesc distributia sau repartitia statistica a variabilei statistice.

Frecventa absoluta cumulata crescatoare a valorii x a variabilei statistice este suma tutuoro frecventelor absolute ale valorilor variabilei care apar pana la xi inclusiv.

Frecventa absoluta cumulata descrescatoare a valorii xi a variabilei statisticei este suma tuturor frecventelor absolute ale valorilor variabilei care apar la xi inclusiv.

Raportul dintre frecventa absoluta a unei valori xi sau a unei clase de valori statistice si efectivul total al populatiei se numeste frecventa relativa a clasei de valori.

Se numeste frecventa relativa cumulata crescatoare a valorii xi a variabilei statistice , suma tuturor frecventelor relative a valorilor care apar pana la xi inclusiv.

Se numeste frecventa relativa cumulata descrescatoare a valorii xi a variabilei statistice , suma tuturor frecventelor relative ale vlorilor care apar la xi inclusiv.

Analog se definesc frecventele relative cumulate ale claselor de valori.

2.4Interpretarea Datelor Statistice Prin Parametri de Pozitie

Analiza si interpretarea datelor statistice legate de un studiu statistic s-a realizat pana la acest moment cu ajutorul frecventelor si a graficelor statistice.

Pentru o serie statistica este interesant de gasit acea marime care survine cel mai des, acea marime este cea mai reprezentativa pentru toata seria.

O astefle de marime se numeste indicator sau parametru de pozitie deoarece arata pozitia elementelor principale ale seriei in cadrul acesteia.

Reprezentivitatea unor astfel de marimi este data de gradul de concentrare a datelor statistice in jurul lor.

1. Valoarea medie a unei serii statistice

Fie seria statistica asociata unui studiu statistic asupra unei populatii statistice din efectivul N, cu variabila cantitativa se numeste valoare medie sau media variabilei statistice X , media aritmetica a tuturor valorilor variabilei statistice calculata pentru toate unitatile populatiei statistice.

2. Mediana seriei statistice

ordonata

Mediana unei serii statistice ordonate este valoarea Me care imparte sirul ordonat al valorilor variabile in doua parti,fiecare parte continand acelasi numar de valori.

*Mediana unei serii statistice cu variabila cantitativa discreta se obtine astfel:

- se aseaza cele N valori ale variabilei in ordine crescatoare sau descrescatoare

- daca N este numar impar, atunci

- daca N este par N=2k, atunci

Clasa de valori in seria frecventelor absloute cumulate careia ii corespunde cel putin jumateate din efectivul total al populatiei se numeste clasa mediana.

3. Modulul unei serii statistice

In multe activitati economico-sociale prezinta interes acele aspecte care survin cel mai frecvent in derularea lor.

De exemplu compararea numarului de apeluri telefonice pe intervale mici de timp da posibilitatea determinarii perioadei din zi cand o centrala telefonica este cel mai mult solicitata si, in consecinta, da posibilitatea determinarii capacitatii optime a centralei.

Astfel de probleme se rezolva folosind parametru statistic de pozitie numit modul sau dominanta.

Definitie!

Modulul sau dominanta unei serii reprezinta valoarea unei clase de valori a variabilei care corespunde celui mai mare efectiv si se noteaza Mo.

4. Dispersia. Abaterea medie patratica

Sa consideram urmatoarele seturi de date: si

Se constata ca ambele siruri de date au valoarea medie egala cu 3, sunt distincte, iar datele primului sir sunt raspandite in raport cu media fata de cele a setului al doilea.

Pentru a masura gradul de impartasire a datelor unei serii statistice fata de medie se folosesc urmatorii parametri de pozitie: dispersia si abaterea medie patratica.

Definitie!

In cazul datelor grupate in clase de valori, se considera abaterile centrelor claselor de valori de la medie.

Abaterea medie patratica da posibilitatea caracterizarii dispersiei valorilor variabilei statistice.Astfel, o serie care este putin dispersata, adica prezinta valori ce sunt strans grupate in jurul valorii medii, conduce la o medie patratica mica

Definitie!

Raportul dintre abaterea medie patratica si valoarea medie a unei serii statistice se numeste coeficient de variatie.

EXERCITII SI PROBLEME

Problema 1

Un profesor isi ia din catalogul unei clase mediile la matematica pe semestrul trecut in vederea unor prelucrari statistice. Acestea sunt: 6, 7, 7, 5, 9, 8, 4, 10, 7, 5, 6, 6, 7, 8, 4, 4, 6, 5, 8, 6, 7, 5, 6, 9, 7.

Sa se completeze un tabel care contine rubricile: Nota, Frecventa absoluta, Frecventa relativa, Frecventa Cumulata. Realizati reprezentarea in batoane si poligonul frecventelor.

Folosind datele din tabel precizati:

a.      Cati elevi au note mai mici decat 5? Indicati procentul lor.

b.     Cati elevi au note intre 5 si 7? Indicati procentul lor.

c.      Cati elevi au note intre 7 si 10? Indicati procentul lor.

d.     Reprezentati aceste date printr-o diagrama in forma unui disc, cu a), b), c) indicate prin sectoare ale cercului.

Determinati media aritmetica, mediana, dispersia si abaterea mediei patratice.

2) a. 3 elevi au note sub 5. Acestia reprezinta 12%.

b. 10 elevi au note intre 5 si 7. Acestia reprezinta 40%.

c. 12 elevi au note intre 7 si 10. Acestia reprezinta 48%.

3) Media aritmetica = (4*3+5*4+6*6+7*6+8*3+9*2+10)/25=6.48

Mediana = 7

Dispersia = 2.48 (calculate tabelar)

Abaterea = 1.57

Problema 2

În cadrul laboratorului de matematica aplicata se considera aruncarea simultana a doua zaruri de cate doi elevi si se inregistreaza suma punctelor obtinute pe cele doua zaruri. Se arunca zarurile de 30 de ori. Completati un tabel care contine urmatoarele coloane: Suma obtinuta, Frecventa absoluta, Frecventa relativa, Frecventa cumulata crescatoare. Alcatuiti diagrama in batoane. Calculati media, dispersia si abaterea mediei patratica.

Media = 7,033333333

Dispersia = 8,165567