PROBLEMA OPTIMIZARII PORTOFOLIILOR DE ACTIUNI

PROBLEMA OPTIMIZARII PORTOFOLIILOR DE ACTIUNI

1. Introducere. Optimizare neliniara

Vom prezenta pentru inceput un exemplu de problema de investitii intr-un portofoliu de actiuni, exprimata in forma liniara si varianta acesteia in care este introdusa o componenta de tip penalitate. (Bartholomeu-Biggs, 2005)

Exemplul 1 Fie M o suma de bani care trebuie investita in trei fonduri care prezinta procentele de randament de r₁, r₂ si r₃. Fondul este investit prin intermediul unei firme specilaizate.    Daca sumele investite sunt , randamentul total, exprimat in procente, este,

Daca taxa perceputa de firma care gestioneaza investitia este pentru fiecare fond i, atunci costul total este,

Problema este de a atinge un randament de Rp procente din suma investita si astfel incat taxa platita gestinarului fondului sa fie minima. Obtinem problema de programare liniara,

(1) Minimizeaza

cu restrictiile

(2)

(3)

Problema definita prin (1), (2) si (3) este o problema de programare liniara, care modeleaza una din cele mai simple probleme de tip decizie de investitie. O varianta a problemei prezentata in exemplu 1 mai apropiata de situatiile reale este cea in care tentativa de efectuare de investitii negative este penalizata printr-o taxa de management foarte ridicata. Rezulta problema de optimizare neliniara,

(4) Minimizeaza

cu restrictiile

(5)

unde constanta (de obicei cu valoare foarte mare) si functia este definita prin,

Functia obiectiv este neliniara (pentru anumite valori ale variabilelor este liniara, pentru alte valori este patratica).

In unele situatii, restrictiile de tip egalitate pot fi utilizate pentru eliminarea variabilelor unei probleme de optimizare. De exemplu, din relatia (5) rezulta si obtinem,

(6) Minimizeaza

cu restrictiile

(7)

Evident, prin utilizarea relatiei (7), poate fi eliminata inca o variabila astfel incat problema de optimizare este redusa la o problema de minimizare a unei functii de o singura variabila, fara constrangeri.

2. Randamentul/ riscul unui portofoliu. Definirea problemelor de optimizare

In cele ce urmeaza este prezentat calculul randamentului asteptat, respectiv al riscului asociat unui portofoliu de actiuni. (Bartholomeu-Biggs, 2005)

Consideram disponibil istoricul randamentelor procentuale pe m perioade de timp pentru fiecare actiune dintr-un grup de n actiuni si notam cu

, randamentul actiunii i in perioada j

, fractiunea investita in actiunea i, astfel incat

, varianta actiunii i

, covarianta dintre actiunile i si k.

Portofoliul este definit de fractiunile de investitii .

Randamentul mediu al fiecarei actiuni , notat cu , este calculat prin,

(8)

Randamentul asteptat al portofoliului este dat prin,

(9)

Varianta fiecarei actiuni , respectiv covarianta dintre oricare doua actiuni , sunt calculate prin,

(10)

(11)

Varianta portofoliuluieste definita prin,

(12)

si este utilizata ca masura a riscului portofoliului.

Functiile randament, respectiv risc, definite prin relatiile (9), respectiv (12) sunt reprezentate matriceal prin,

(13)

(14) ,

unde

,

De asemenea, in reprezentare matriceala, relatia devine,

unde este vectorul unitar n-dimensional.

Problema primara de minimizare a riscului, RISCMIN0, este formulata prin, (Bartholomeu-Biggs, 2005)

RISCMIN0:

Minimizeaza

cu restrictia

.

Observatie. RISCMIN0 poate fi modificata prin eliminarea restrictiei si a variabilei .

In multe situatii practice, investitorul este interesat atat in minimizarea riscului, cat si in optimizarea randamentului portofoliului ales. In general, un portofoliu este considerat optim daca el furnizeaza cel mai mare randament cu cel mai mic risc.

O modalitate de a determina un astfel de portofoliu este prin considerarea functiei de tip compozit,

(16)

Constanta pozitiva controleaza raportul dintre randament si risc.

Este obtinuta problema de optimizare RISC-RANDAMENT1, (Bartholomeu-Biggs, 2005)

RISC-RANDAMENT1:

Minimizeaza

cu restrictia

.

Observatie. RISC-RANDAMENT1 poate fi modificata prin eliminarea restrictiei si a variabilei .

O varianta alternativa pentru a determina portofoliul optim este de a fixa o valoare tinta pentru randament, de exemplu de Rp procente, si de a considera problema de optimizare RISCMIN1, (Bartholomeu-Biggs, 2005)

RISCMIN1:

Minimizeaza

cu restrictiile

.

sau, alternativ, problema modificata RISCMIN1M,

RISCMIN1M:

Minimizeaza

cu restrictia

Constanta pozitiva semnifica raportul dintre randament si risc.

O problema des intalnita in practica este aceea in care este selectat un nivel acceptabil de risc, si este maximizat randamentul asteptat. Modelul matematic revine la problema de minimizare cu constrangeri RANDAMENTMAX1,

RANDAMENTMAX1:

Minimizeaza

cu restrictiile

sau, alternativ, problema modificata RANDAMENTMAX1M, (Bartholomeu-Biggs, 2005)

RANDAMENTMAX1M:

Minimizeaza

cu restrictia

Constanta pozitiva semnifica relatia existenta intre randamentul si riscul portofoliului.

Observatie. RISCMIN1M si respectiv RANDAMENTMAX1M pot fi modificate prin eliminarea restrictiei si a variabilei .