BAZE DE VECTORI IN Rⁿ

Obiective : insusirea de catre studenti a notiunii de baza de vectori si dimensiune , a metodei substituirii unui vector din baza si aplicatiile sale in calculul matricial.

Continut :

Definitia bazei de vectori si dimensiunii in Rⁿ

Baze ale subspatiilor vectoriale in Rⁿ

1 Dimensiunea in operatii cu subspatii vectoriale

2 Subspatii vectoriale si sisteme liniare omogene

3 Descompunerea unica a unui vector in raport cu o suma directa de subspatii vectoriale

4 Descompunerea unica a unui vector in raport cu o suma ortogonala de subspatii vectoriale

3 Substituirea unui vector dintr-o baza si aplicatii

3.1 Calculul determinantului unei matrici patratice

3.2 Calculul rangului unei matrici dreptunghiulare

3.3 Calculul inversei A^-1 pentru o matrice patratica nesingulara A

3.4 Calculul inversei generalizate A⁺ pentru o matrice dreptunghiulara A

3.5 Calculul produsului de matrici F^-1.G

3.6 Calculul produsului de matrici G.F^-1

4 Schimbarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei

4.1 Matricea de trecere de la o baza la alta

4.2 Matricea Gram a unei baze

4.3 Baze ortogonale si ortonormale.Ortonormalizarea unei baze

5 Rezumat

Intrebari

7 Bibliografie

Cuvinte cheie : baza de vectori,coordonatele unui vector intr-o baza, substituirea unui vector dintr-o baza,matricea de trecere de la o baza la alta, matricea Gram a unei baze, baza ortogonala,baza ortonormala,baze biortogonale,ortonormalizarea unei baze .

1 Definitia bazei si dimensiunii in Rⁿ

In capitolele 2-7 vom conveni sa scriem vectorii din Rⁿ ca vectori-coloana cu n componente.

Vectorii F₁,.,F_n IRⁿ (m ≤n) se numesc liniar independenti daca relatia =0 implica adica cei m vectori nu satisfac nici o relatie de dependenta liniara.

Orice submultime a unei multimi de vectori liniar independenti este formata tot din vectori liniar independenti.

Vectorii F₁,.,F_p IRⁿ (p n) genereaza pe Rⁿ daca pentru orice vector V I Rⁿ exista scalarii a a_p IR astfel ca .

Daca o submultime a unei multimi de vectori genereaza pe Rⁿ, atunci intreaga multime genereaza pe Rⁿ.

Vectorii F₁,.,F_n I Rⁿ formeaza o baza in Rⁿ daca ei sunt liniar independenti si genereaza pe Rⁿ.

Fie VI Rⁿ cu . Scalarii se numesc coordonatele vectorului V in baza F si formeaza vectorul-coloana .

Relatia precedenta se scrie matricial unde este matricea bazei cu vectorii-coloana .

Exemplu: Baza standard este formata din vectorii matricii-unitate:

Avem deci se numesc versori. In plus , deci vectorii sunt ortogonali cate doi .

Daca V=(V₁,.,V_n)^T , avem , deci coordonatele lui V in baza standard E sunt chiar componentele V₁,.,V_n ale lui V ca vector din Rⁿ .

Relatia din chenarul de mai sus devine .

Oricare baze din Rⁿ au exact n vectori, n numindu-se dimensiunea spatiului vectorial Rⁿ: dim (Rⁿ) = n .

Fie vectori-coloana din Rⁿ care formeaza o baza din Rⁿ. Matricea F cu coloanele F₁,,F_n se numeste matricea bazei :

Avem .

Daca det(F)>0 , baza cu matricea F are orientare pozitiva , iar daca det(F)<0 , baza cu matricea F are orientare negativa.

Exemplu: Fie matricea

a) Sa se arate ca vectorii-coloana F₁, F₂ si F₃ formeaza o baza in R³;

b) Sa se gaseasca coordonatele vectorului-coloana in baza formata cu vectorii F₁, F₂ si F₃.

Solutie

a)    Fie relatia de dependenta liniara: , deci pe componente avem , de unde rezulta .

Fie un vector-coloana oarecare V din R³, de exemplu .

Sa aratam ca exista a a a IR , nu toti nuli astfel ca .

Pe componente avem: , de unde rezulta .

b)    sunt chiar coordonatele vectorului-coloana V in baza

Un sistem de vectori-coloana F₁,,F_m din Rⁿ se numeste ortogonal daca vectorii sunt ortogonali cate doi, deci .

In acest caz vectorii F₁,,F_m sunt liniar independenti.

In adevar, fie relatia de dependenta liniara:

(1)

Inmultim scalar relatia (1) cu F₁: adica deci caci .

In mod analog inmultind scalar relatia (1) cu F₂,,F_m obtinem .

Pentru sistemul de vectori din Rⁿ, ortogonali cate doi, devine baza ortogonala.

Fie in acest caz V I Rⁿ cu . Avem deci

O baza ortogonala este ortonormala daca in plus .

In acest caz matricea F este ortogonala .

Exemplu: Baza standard E este ortonormala.

2 Baze ale subspatiilor vectoriale in Rⁿ

1 Dimensiunea in operatii cu subspatii vectoriale

Daca F₁,.,F_r I Rⁿ (r n ) sunt vectori-coloana liniar independenti, multimea vectorilor de forma a F₁+.+ a _rF_r cu a_i IR , este un subspatiu vectorial r-dimensional L al lui Rⁿ, numit acoperirea liniara a multimii de vectori si notat L = Span

Multimea de vectori-coloana liniar independenti din Rⁿ se poate completa cu inca n-r vectori-coloana din Rⁿ, liniar independenti intre ei si liniar independenti fata de astfel ca formeaza o baza in Rⁿ.

Daca L este subspatiu vectorial al lui Rⁿ si Rⁿ / L este subspatiul vectorial-cat

(vezi sectiunea 1.2) avem dim(Rⁿ / L) = n - dim(L).

Fie L₁ , L₂ doua subspatii vectoriale ale lui Rⁿ. In sectiunea 1.2 au fost definite

L₁ L₂, L₁ + L₂ , L₁ L₂ si L₁ Q L₂

Proprietati:

a)    dim(L₁ +L₂) = dim(L₁)+dim(L₂) - dim (L₁ L₂)

b) dim(L₁ L₂) = dim(L₁)+dim(L₂)

c)    dim(L₁ Q L₂) = dim(L₁)+dim(L₂)

In cazul a) alegem o baza B₀ in L₁∩L₂ . Completam pe B₀ pana la o baza B₁

in L₁ si completam pe B₀ pana la o baza B₂ in L₂ .

( B₁ - B₀ ) U B₀ U (B₂ - B₀ ) este o baza in L₁ + L₂ .

In cazul b) reunind o baza din L cu o baza din L₂ obtinem o baza din L₁ L₂

In cazul c), in plus fata de cazul b), orice vector al bazei lui L₁ este ortogonal pe orice vector al bazei lui L

Fie L un subspatiu vectorial al lui Rⁿ cu baza ortonormala deci

F_i *F_j = δ_ij (i,j =1,.,r).

Fie un vector V din Rⁿ si fie vectorul : U=V - (V*F₁).F₁ - . - (V*F_r).F_r

Avem 0 || U || ² =U*U = || V || ² - | V*F₁ |² - . - | V*F_r |² deoarece

F_i *F_j = δ_ij (i,j =1,.,r).

De aici rezulta inegalitatea Bessel :

Pentru r =n aceasta inegalitate se transforma in egalitatea Parseval dupa cum

vom arata in sectiunea 3

2 Subspatii vectoriale si sisteme liniare omogene

Teorema 1

Vectorii oricarui subspatiu vectorial in Rⁿ sunt solutii ale unui sistem liniar omogen si reciproc.

Demonstratie

In primul exemplu din sectiunea 1.2 s-a aratat ca solutiile unui sistem liniar omogen formeaza un subspatiu liniar in Rⁿ.

Sa demonstram afirmatia inversa.

Fie L un subspatiu vectorial r-dimensional al lui Rⁿ _{cu baza} .

Fie matricea de tip n x r si rang r care are pe coloane vectorii F₁,.,F_r .

Fie G₁,.,G_{n - r} I Rⁿ solutiile liniar independente ale sistemului liniar omogen .

formeaza o baza a subspatiului vectorial L Rⁿ cu dim(L n - r

Fie matricea de tip n x (n - r) si rang r , are pe coloane vectorii .

Solutiile liniar independente ale sistemului liniar sunt vectori-coloana. F₁,., F_r I Rⁿ care genereaza subspatiul vectorial L Rⁿ cu dim(L)=r . Q.E.D.

Din teorema 1 rezulta ca vectorii oricarei varietati liniare b + L unde vectorul b nu apartine subspatiului vectorial L , sunt solutii ale sistemului liniar neomogen G^T.X = b si reciproc.

Forma parametrica a solutiei X este data in sectiunea 5.1.1

Exemple

a)      Fie L R³ subspatiul vectorial cu baza deci dim(L) =

Sistemul liniar omogen adica are solutia care constituie o baza pentru L R³ cu dim(L

Sistemul liniar omogen adica are ca solutii liniar independente chiar pe F₁ si F

b)      Fie L R³ subspatiul vectorial cu baza deci dim(L) =

Sistemul liniar omogen adica are solutii liniar independente pe G₁, G₂ cu care constituie o baza pentru L R³ cu

dim(L

Sistemul liniar omogen adica are ca solutie pe deci chiar baza lui L R³ .

Descompunerea unica a unui vector in raport cu o suma directa a unor

subspatii liniare

Fie L₁ , L₂ subspatii vectoriale ale lui Rⁿ cu dim(L₁)= r , dim(L₂)= n - r astfel ca avem suma directa Rⁿ = L₁ L₂ .

In acest caz orice vector VI Rⁿ admite descompunerea unica V=X⁽¹⁾+X⁽²⁾ cu

X⁽¹⁾IL₁ , X⁽²⁾ IL₂

Cunoscand pe V componentele sale unice X⁽¹⁾ si X⁽²⁾ se gasesc astfel:

Fie o baza din L₂ si o baza din L₁

F este matrice de tip n x r si rang r iar G este matrice de tip n x (n - r) si rang n - r. Avem .

Rezulta deci devine .

Fie matrice patratica de ordin si rang n si .

X⁽¹⁾ IRⁿ este solutia unica a sistemului liniar iar .

Exemplu

Fie L₁ R³ cu dim (L₁) = r =2 ai carui vectori satisfac sistemul liniar omogen deci este o baza in L₁

L este plan ce trece prin 0 in R³.

Fie L₂ R³ cu dim (L₂ )=n - r = 1 ai carui vectori satisfac sistemul liniar omogen deci este o baza in L₂

L₂ este o dreapta ce trece prin 0.

Avem R³ = L₁ L₂ deoarece L₁ L₂ =

Fie . Avem descompunerea unica V=X⁽¹⁾+X⁽²⁾ cu X⁽¹⁾ IL₁ , X⁽²⁾I L₂ . Componentele unice X⁽¹⁾ si X⁽²⁾ se vor gasi astfel:

Avem si .

Solutia sistemului liniar este iar .

Descompunerea unica de mai sus se generalizeaza astfel: fie L₁,.,L_m subspatii vectoriale ale lui Rⁿ cu dim(L_i)=r_i si , astfel ca Rⁿ = L₁ L_n .

Pentru orice VIRⁿ avem descompunerea unica cu X⁽ⁱ⁾IL_i .

Componentele unice X⁽ⁱ⁾IL_i sunt solutii ale sistemului liniar: .

Aici este o baza a subspatiului vectorial L_i cu .

Caz particular

Fie L₁,.,L_n subspatii vectoriale ale lui Rⁿ cu dim(L_i)= 1 si fie baze ale subspatiilor L₁,.,L_n , formate din vectorii .

Presupunem in plus ca Rⁿ = L₁ L_n

Pentru orice VIRⁿ avem descompunerea unica: unde deci avem .

sunt chiar coordonatele lui V in baza a lui Rⁿ deci .

Exemplu

Pentru L₁= Ox₁,.,L_n=Ox_n (axele de coordonate) avem . Evident Rⁿ = L₁Q QL_n (suma ortogonala) deci pentru orice avem descompunerea unica: fata de baza standard:

Inmultim scalar cu relatia si obtinem sistemul liniar cu necunoscutele :

Matricea coeficientilor este cu caci in baza este o baza in Rⁿ, deci .

In particular daca F este o baza ortogonala avem deci rezulta: .

Mai particular , daca F este baza ortogonala, avem : .

Fie baza ortonormala cu vectorii F₁,.,F_n in Rⁿ si fie vectorii U si V din Rⁿ

deci avem :

U = (U*F₁).F₁+.(U*F_n).F_n ; V = (V*F₁).F₁+.(V*F_n).F_n

Avem F_i*F_j =δ_ij de unde rezulta :

U * V = (U*F₁).(V*F₁)+.(U*F_n).(V*F_n)

In particular pentru U=V gasim egalitatea Parseval :

||V||² = (V*F₁)²+.+(V*F_n)²

Descompunerea unica a unui vector in raport cu o suma ortogonala a unor

subspatii liniare

Fie L Rⁿ un subspatiu vectorial cu dim(L)=r si baza si fie vectorul . Daca L este subspatiul ortogonal al lui L cu Rⁿ=L L ; L L si dim(L)=n - r, avem descompunerea unica: cu X⁽¹⁾IL , X⁽²⁾IL , si .

Avem .

Fie .

Inmultim scalar aceasta relatie cu si tinem cont ca deci vom obtine sistemul liniar cu necunoscutele :

Cunoscand baza si vectorul V se cunosc deci se cunoaste iar .

este proiectia ortogonala a vectorului V pe subspatiul L iar este distanta de la vectorul V la subspatiul L.

Fie matricea Gram a vectorilor si G(F_e) matricea Gram a vectorilor , V. Se arata ca distanta de la vectorul V la subspatiul L este data de relatia

Exemplu

Fie L R³ un subspatiu vectorial cu baza deci dim(L₁)=r=2 si fie vectorul . Avem unde sunt dati de sistemul liniar: adica cu solutia: asa ca iar .

Distanta de la V la subspatiul L este .

3 Substituirea unui vector dintr-o baza si aplicatii

Fie baza standard in Rⁿ. Fie vectorii-coloana A₁,.A_m IRⁿ. Acesti vectori-coloana constituie matricea de tip n x m:

Avem relatiile:

sau sub forma de tabel:

Daca , se va numi pivot si se incercuieste. Putem inlocui vectorul E_h din baza cu vectorul A_k din afara bazei standard. Avem:

sau sub forma de tabel:

Teorema 2

Prin substituirea vectorului E_h din baza standard cu vectorul A_k din afara bazei, avem relatiile de transformare a coeficientilor:

Demonstratie

Inlocuind in relatiile (2) coeficientii dati de relatiile (3) si (4) precum si expresia lui A_k din (1), obtinem dupa reducerea unor termeni, chiar relatiile (1):

Q.E.D.

Observam ca relatiile (3) si (4) sunt in fond transformari elementare ale liniilor matricii de tip :

si anume: Relatia (3) specifica faptul ca linia h se imparte cu pivotul .

Daca , se imparte cu .

Relatia (4) specifica faptul ca din linia i se scade linia h, inmultita cu factorul .

Daca , ramane neschimbat.

Relatiile (3) si (4) se constituie in regula dreptunghiului care consta in urmatoarele:

Linia pivotului se imparte la pivotul .

Elementele din celelalte linii, se inmultesc cu pivotul , din produs se scade produsul elementelor diagonalei a doua a dreptunghiului format iar diferenta se imparte la pivotul .

Regula 2) se bazeaza pe faptul ca relatia (4) se scrie sub forma echivalenta:

Algoritmul care foloseste numai relatia (4) se mai numeste algoritmul Gauss iar cel care foloseste relatiile (3) si (4) se mai numeste algoritmul Gauss-Jordan.

Exemplu

Fie in R³ vectorii-coloana A₁, A₂ cu matricea A:

Fie baza standard:

Avem tabelul:

Vrem sa substituim pe E₁ cu A₁.

Pivotul este 3 si se incercuieste iar E₁ si A₁ se marcheaza cu sageti. Pe coloana A₁ se trece continutul coloanei E₁ adica

Linia pivotului se imparte la pivot: 2 se inlocuieste cu

In liniile 2 si 3 aplicam regula dreptunghiului: 4 se inlocuieste cu iar 5 se inlocuieste cu

Tabelul initial devine:

Inlocuirea poate continua substituind pe E₂ cu A₂ .

Aplicatii ale metodei substituirii

Calculul determinantului unei matrici patratice A

Fie matricea patratica de ordin n:

Fie baza standard si vectorii-coloana din A.

Avem tabelul initial:

Substituim succesiv pe E₁ cu A₁, , pe E_n cu A_n si scoatem de fiecare data in factor pivotul in fata determinantului . In final avem = Produsul celor n pivoti inmultit cu 1 (determinantul matricii-unitate).

Daca intalnim pivoti nuli, vom permuta linii sau coloane intre ele pentru a gasi pivoti nenuli. Fiecare permutare de linii sau coloane are ca efect schimbarea semnului pentru .

Daca dupa un numar de substituiri, obtinem o linie nula, atunci procesul de calcul se opreste si .

Exemple

Sa se calculeze prin metoda substituirii determinantul matricii:

Solutie:

Avem:

Avem .

Sa se calculeze prin metoda substituirii determinantul matricii:

Solutie

Substituirea nu mai poate continua deci .

Pentru calculul determinantului prin metoda substituirii avem programul de calculator DETERM

Calculul rangului unei matrici dreptunghiulare A

Fie matricea de tip :

In sectiunea 1.3 a fost definit rangul matricii A ca fiind ordinul celui mai mare minor nenul, numit minor principal: daca exista un minor de ordin r, nenul (minorul principal) si toti minorii de ordin sunt nuli).

Avem :   

este numarul maxim de linii liniar independente ca vectori din Rⁿ si este numarul maxim de coloane liniar independente ca vectori din R^m. Cu alte cuvinte, este dimensiunea subspatiului vectorial al lui Rⁿ, generat de cei m vectori-linie din A si este dimensiunea subspatiului vectorial al lui R^m, generat de cei n vectori-coloana din A.

Fie cazul m ≤ n.

Fie si fie submatricea principala de ordin r: cu determinantul principal .

Daca atunci prin permutarea intre ele a liniilor si / sau permutarea coloanelor, vom aduce minorul principal pe primele r linii si pe primele r coloane.

Permutarea intre ele a liniilor respectiv coloanelor nu schimba rangul matricii A.

Matricea A are forma initiala:

unde submatricile au tipurile: ; ; ; .

Se substituie E₁ cu A₁, ,E_r cu A_r si matricea capata forma:

adica:

Notam de tip care contine toate liniile si numai cele r coloane principale din forma initiala a matricii A si notam de tip , care contine toate coloanele si primele r linii principale din forma finala a matricii A dupa substituire.

Se verifica relatia unde .

Aceasta relatie se numeste descompunerea bazica a matricii A.

In adevar, primele r coloane ale matricii A sunt liniar independente si constituie matricea U iar celelalte coloane sunt liniar dependente de , coeficientii de dependenta liniara fiind cele coloane ale submatricii de tip , .

In cazul , se lucreaza cu de acelasi rang cu A.

Exemplu

Sa se afle rangul matricii de tip :

Solutie

Avem ; cu

Avem adica

Pentru a calcula rangul matricii A avem programul de calculator RANG .

Calculul matricii inverse A^-1 a unei matrici patratice nesingulare de ordin n (cu )

Tabelul initial are forma:

Substituim pe E₁ cu cu si obtinem tabelul final:

Exemplu

Sa se inverseze matricea patratica nesingulara cu

Solutie

Avem: . Se verifica relatiile

Pentru calculul lui avem programul de calculator INVMAT .

Pentru un sistem de n ecuatii cu n necunoscute de forma: sau matricial cu (sau ), solutia unica a acestui sistem liniar are forma matriciala unde se calculeaza ca mai sus.

Programul INVSIST rezolva sistemul precedent prin aceasta metoda.

Exemplu

Sa se rezolve sistemul liniar: prin metoda matricii inverse.

Solutie

Avem ,

deci ; ;

3.4 Calculul inversei generalizate A⁺ a unei matrici dreptunghiulare A

Daca matricea A este dreptunghiulara de tip inversa obisnuita nu exista, dar exista inversa generalizata de tip notata A⁺ care a fost definita in sectiunea 1.3.1 punctul 4) prin relatia analoaga relatiei .

Inversa generalizata A⁺ are proprietatile de la punctul III. al sectiunii 1.3.3 ; matricea A⁺ se poate calcula si daca matricea A este patratica ( ) dar singulara ( ).

Fie cazul m ≤ n

Fie

In sectiunea 3.2 de mai sus , la calculul lui s-a prezentat descompunerea bazica a matricii A: cu U de tip , V de tip si .

Inversa generalizata a lui A, notata A⁺ este de tip si are forma:

In particular daca matricea A este de rang maxim, in presupunerea , avem .

Avem cu F de tip , nesingulara si G de tip .

Dupa pivotare avem deci avem de tip si de tip .

Din formula (1) rezulta ca pentru si , avem:

In cazul se lucreaza cu de tip cu deci se afla .

Daca , prin aplicarea relatiei (2) pentru , rezulta: si cum rezulta prin transpunere:

Pentru calculul lui A⁺ avem programul INVGEN .

Exemple

Se da matricea de tip :

Se cere inversa generalizata A⁺

Solutie

Calculam ca la punctul 3.2 rangul matricii A:

Avem . Liniile 1, 2 sunt principale si coloanele 1, 2 sunt principale.

Avem cu toate cele trei linii si coloanele principale 1, 2 din matricea A initiala.

Avem cu toate cele patru coloane si liniile principale 1, 2 din matricea A finala (dupa substituire).

Rezulta ; deci de unde:

Rezulta

Se da matricea de rang maxim de tip :

Se cere inversa generalizata A⁺

Solutie Avem deci conform relatiei (2) avem unde: deci deci

Calculul produsului F^-1∙G unde F este matrice patratica de ordin n nesingulara

(det (F) ≠ 0) iar G este matrice dreptunghiulara de tip n x p

Tabelul initial are forma:

Se substituie pe rand E₁ cu cu F_n .

Tabloul final are forma:

Pentru calculul lui avem programul INVMATS .

Exemplu

Se dau matricile ; si . Se cere

Solutie

Avem:

Calculul produsului G∙F^-1 unde F este matrice patratica de ordin n nesingulara

(det (F) ≠ 0) iar G este matrice dreptunghiulara de tip m x n.

Avem deci aplicam cazul 3.5 pentru matricile F^T, G^T.

Tabelul initial are forma:

Se substituie E₁ cu

Tabelul final are forma:

La urma avem

Pentru calculul lui avem programul INVMATD

Exemplu

Fie matricile: ; si . Se cere

Solutie

Avem dupa transpunere:

4 Schimbarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei. Baze ortogonale

4.1 Matricea de trecere de la o baza la alta

Orice vector din Rⁿ are fata de baza standard ca si coordonate chiar pe deoarece: .

Daca notam cu vectorul coordonatelor lui a in baza F, avem de unde rezulta relatia:

Matricea de trecere de la baza cu baza cu matricea bazei G, este matricea S nesingulara de ordin n care satisface relatia G=F.S deci adica coloanele lui S sunt coordonatele vectorilor-coloana in baza . S se mai numeste si matricea de schimbarea bazei.

Relatia de calcul a matricii de trecere S de la baza cu matricea bazei F la baza cu matricea bazei G este:

(2) S=F^-1G

si se calculeaza ca la punctul 3.5 din sectiunea 3

Teorema 3 (Proprietati ale matricii S de schimbarea bazei .)

S este matrice nesingulara

In adevar,

S este matrice ortogonala ( ) daca si numai daca .

In adevar, deci

Daca S este matricea de trecere de la baza F la baza G atunci este matricea de trecere de la baza G la baza F.

In adevar, daca atunci

Daca S este matricea de trecere de la baza F la baza G si R este matricea de trecere de la baza G la baza H , atunci S∙R va fi matricea de trecere de la baza F la baza H

In adevar, din si rezulta . In particular matricea de trecere de la baza E la baza F este iar matricea de trecere de la baza E la baza G este . Q.E.D.

Avem schema:

Din relatia rezulta formula de schimbare a coordonatelor unui vector a la schimbarea bazei: adica:

In particular, la trecerea de la baza E la baza F avem iar la trecerea de la baza E la baza G avem: . Avem schema:

Exemplu

Fie bazele: ;

a)    Se cere matricea de trecere S de la baza F la baza G.

b)    Fie vectorul . Se cere si .

Solutie

a)    Avem . Conform exemplului 3.5 din sectiunea 3 avem:

Avem:

b)   

Verificare

Matricea Gram a unei baze

Matricea Gram a bazei cu matricea bazei F este

Teorema 4 (Proprietati ale matricii Gram )

este matrice simetrica:

2)

In adevar, deoarece

3)

4) La trecerea de la baza F la baza G, cu matricea de trecere S, avem:

In adevar, , si deci: . Q.E.D.

In particular, daca trecem de la baza E la baza F, avem si deci . Avem schema:

Matricea Gram are pe diagonala principala patratele normelor vectorilor bazei F adica iar in afara diagonalei principale are produsele scalare :

Pe baza matricii se construieste matricea cosinusilor intre vectorii ai bazei F, folosind relatia:

Exemplu

Fie bazele ;

cu matricea de trecere

a)    Se cere matricea Gram si matricea cosinusilor

b)    Cunoscand pe si S, se cere

Solutie

a)   

b)

Fie bazele si din Rⁿ ,

Matricea produselor scalare ale vectorilor celor doua baze este:

Observam ca si .

Avem si relatiile si

Matricea cosinusilor pentru unghiurile intre vectorii celor doua baze este:

Observam ca deci este matricea cosinusilor directori ai vectorilor ai bazei F in raport cu baza standard E.

Matricea are o interpretare analoaga.

Avem si relatiile si

4.3 Baze ortogonale si ortonormale

O baza cu matricea bazei F, se numeste ortogonala daca vectorii , sunt ortogonali adica .

In acest caz matricea F este semiortogonala adica

deci este matrice diagonala cu .

O baza cu matricea bazei F, se numeste ortonormala daca este ortogonala si in plus adica vectorii bazei sunt versori. In acest caz

matricea F este ortogonala deci iar deci

Exemplu

Baza standard cu matricea bazei E este baza ortonormala.

Orice baza ortogonala se poate transforma in baza ortonormala prin impartirea vectorilor bazei F₁,,F_n cu normele lor, adica prin transformarea lor in versori.

Exemple

a)    Baza cu matricea bazei este ortogonala.

Aceasta baza devine ortonormala daca impartim vectorul-coloana F₁ cu , vectorul-coloana F₂ cu si vectorul-coloana F₃ cu deci: ;

b)      Baza cu matricea bazei este ortonormala: ; si ; .

Daca bazele F, G sunt ortonormale, atunci deci si matricea de trecere S este ortogonala .

Teorema 5

Pentru a ortogonaliza o baza cu matricea bazei F, aplicam relatiile Gram-Schmidt:

Demonstratie

Se verifica relatiile Q.E.D.

Baza G se poate ortonormaliza, impartind vectorii-coloana G_i cu .

Din relatiile Gram-Schmidt putem afla pe in raport cu versorii :

Fie matricea ortogonala de ordin n a versorilor proprii notata cu si fie matricea triunghiulara:

Avem cu si R = triunghiulara.

Matricea de trecere de la baza F la baza ortonormala este deoarece deci . este tot triunghiulara si are pe diagonala principala pe . Programul de calculator ORTOBAZA transforma baza F in baza ortonormala G₀.

Caz particular

Daca F₁,.,F_r cu r < n , sunt versori liniar independenti si ortogonali doi cate doi,

atunci relatiile Gram - Schmidt devin :

G₁ =F₁

G_r =F_r

G_r+1=F_r+1 - (F_r+1*G₁).G₁ - ............... - (F_r+1*G_r).G_r

G_n =F_n - (F_n*G₁).G₁ - ...............- (F_n*G_r).G_r -

((F_n*G_r+1) / || G_r+1 ||²).G_r+1 - ...... - ((F_n*G_n-1) / || G_n-1 ||²).G_n-1

Dupa calculul vectorilor G_r+1 ,., G_n , acestia se impart cu normele lor || G_r+1 ||,

., || G_n || deci baza ortonormala G₀ are forma :

G₀ = [ F₁ ,., F_r , G_r-1 / || G_r+1 || ,.,G_n / || G_n || ]

Matricea triunghiulara R capata forma :

Exemplu

Fie baza

Sa se ortonormalizeze baza F obtinand baza ortonormala G si sa se afle matricea S₀ de la baza F la baza ortonormala G.

Solutie

Luam . Avem ; si

Rezulta:

Avem ;

Rezulta:

Avem

Am obtinut baza ortogonala cu matricea bazei G semiortogonala:

Prin impartirea vectorilor-coloana G₁, G₂, G₃ cu ; ; obtinem baza ortonormala cu matricea bazei:

Avem: . Se verifica relatia

Matricea de trecere de la baza F la baza ortonormala este:

Bazele F si G se numesc biortogonale daca adica si . In acest caz avem si .

In adevar, adica .

In plus, si cum rezulta asa ca: .

Matricea de trecere S de la baza F la baza G (care sunt biortogonale) va fi:

In adevar, iar deci rezulta .

Exemplu

Bazele: ; sunt biortogonale deoarece

Matricea de trecere de la baza F la baza G (care sunt biortogonale) este:

5 Rezumat

In acest capitol se definesc notiunile fundamentale de baza si dimensiune in spatii vectoriale si se aplica aceste notiuni la subspatii vectoriale.

In sectiunea 2 se prezinta subspatiile vectoriale / varietatile liniare ca multimi de solutii ale sistemelor de ecuatii liniare omogene/neomogene. Forma parametrica a sistemelor omogene /neomogene va fi prezentata in sectiunea 6.1.1

Metoda substituirii din sectiunea 3 are importante aplicatii in calculul matricial.

In sectiunea 4 se prezinta matricea de trecere de la o baza la alta si matricea Gram a unei baze.Capitolul se incheie cu studiul bazelor ortogonale,ortonormale si biortogonale inclusiv metoda de ortonormalizare a unei baze.

6 Intrebari

Ce este baza si dimensiunea in spatiul vectorial Rⁿ ?

Ce aplicatii are metoda substituirii unui vector dintr-o baza in calculul matricial ?

Ce sunt matricea de trecere de la o baza la alta si matricea Gram a unei baze si ce proprietati au ele ?

Cum se trece de la o baza oarecare la o baza ortonormala ?

7 Bibligrafie

Stanasila O. " Analiza liniara si geometrie "Vol. I - II,Editura ALL ,2000 - 2001

Cenusa Gh. si col." Matematici pentru economisti " Editura CISON,2000

Cenusa Gh. si col." Matematici pentru economisti - culegerede probleme" Editura CISON,2000

4. Ene D. " Matematici (I) " Editura CERES , 2004

5. Gogonea S. , Ene D. " Analiza numerica " Editura Cartea Universitara , 2005

6. Ene D. , Gogonea S. " Metode numerice "Editura Cartea Universitara , 2005