Drumuri echivalente. Curbe. Moduri de reprezentare a unei curbe

Drumuri echivalente. Curbe. Moduri de reprezentare a unei curbe

Definitie. Doua drumuri netede , se numesc echivalente, cu aceeasi orientare si vom scrie (I, r) ~ (J, r₁), daca exista functia l : I → j, bijectiva, strict crescatoare, de clasa C¹ cu l'(t) ¹ t I I, astfel incat r = r₁ ◦ l. Functia l se numeste schimbare de parametru.

Exemple.

1) Drumurile netede , r(t) = (cost, sint) si , sunt echivalente cu aceeasi orientare. Este suficient sa luam in definitia de mai sus l l(t) = -cost.

2) Orice drum neted este echivalent cu drumul ,

.

3) Drumurile , , au acelasi suport si anume cercul cu centrul in origine, de raza 1, dar nu sunt echivalente.

Intr-adevar, se poate constata ca nu exista o functie bijectiva l : [0, 2π] → [0, 2π] astfel incat r₁ = r₂ ◦ l

Devinitie. Fie . Se numeste curba parametrizata de clasa C^k, (sau ). Multimea r(I) se numeste urma (imaginea, suportul) curbei.

Prezentam cateva moduri concrete de reprezentare a unei curbe:

1. Curbe in spatiu

1. Reprezentarea parametrica

Curba data de ecuatiile parametrice:

, t I I.    (2.1)

1. Reprezentarea implicita

Fie o multime deschisa si . Multimea

reprezinta o curba daca are loc teorema urmatoare:

Teorema 2.2. Daca M₀(x₀, y₀, z₀) I Γ si in acest punct rangul matricei jacobiene

(2.3)

este 2, atunci exista o vecinatate W a punctului M₀, astfel incat este urma unei curbe.

Demonstratie. Sa presupunem ca . Conform teoremei functiilor implicite, exista o vecinatate deschisa I a punctului x₀ si o vecinatate deschisa U V a punctului (y₀, z₀), precum si functiile implicite f : I → U, g : I → V, f, g I C¹(I), astfel incat

Observatie. Daca rangul matricei (2.3) este 2 in orice punct din Γ, atunci din teorema 2.2 rezulta ca Γ este 'local' urma unei curbe parametrizate. In acest caz ecuatiile

(2.4)

se numesc ecuatii implicite ale curbei, curba obtinandu-se ca intersectia a doua suprafete.

Exemplu. Curba lui Vivianu. Este curba care se obtine intersectand o sfera cu cilindrul drept a carui baza este un cerc avand diametrul egal cu raza sferei. Portiunea de curba din semispatiul z > 0 este reprezentata in fig. 2.1.

Fig. 2.1.

Asadar

,

deci . Matricea are rangul 2 pentru orice punct diferit de (R, 0, 0). Atunci, pentru orice astfel de punct, exista o vecinatate W astfel incat este urma curbei.

2. Curbe plane

O curba se numeste plana daca exista un plan care contine imaginea acestei curbe. Vom alege reperul cartezian, astfel incat planul curbei sa coincida cu planul xOy.

1. Reprezentarea parametrica

In acest caz, curba este data de ecuatiile parametrice:

(2.5)

Exemple.

1) Cicloida. Este o curba de origine mecanica. In planul xOy se considera un cerc 'material' de raza a situat in semiplanul superior, tangent in O la axa Ox (fig. 2.2).

Fig. 2.2

Fie M = O. Cicloida este curba descrisa de punctul M, cand cercul se rostogoleste fara alunecare pe semiaxa pozitiva Ox. Punctul M va atinge axa Ox de o infinitate de ori, distanta dintre doua puncte consecutive fiind egala cu lungimea cercului. Pentru a stabili ecuatiile parametrice ale cicloidei, sa consideram o noua pozitie a cercului, N fiind noul punct de contact al cercului cu axa Ox si D centrul acestui cerc. Alegem ca parametru t masura in radiani a unghiului NDM. Fie M(x, y). Deoarece ON = lung(NM) = at, rezulta ca . Astfel, ecuatiile parametrice ale cicloidei sunt

x = a(t - sin t), y = a(1 - cost), t

Sa reprezentam grafic cicloida. Pentru a determina intersectiile cu axele de coordonate rezolvam ecuatiile x(t) = 0, y(t) = 0. Sa remarcam ca x(t) = 0 implica t = 0, iar din y(t) = 0 rezulta , . Asadar, cicloida trece prin origine si intersecteaza semiaxa pozitiva Ox in punctele de abscise x(t_k) = 2kπa. Studiem variatia functiilor x(t) si y(t). Avem x'(t) = a(1 - cost),
y'(t) = asint. Alcatuim tabloul de variatie:

In ceea ce priveste asimptotele, sa observam ca nu exista t I [0, ∞), astfel incat sa fie finita si, deci nu exista asimptote verticale. Pe de alta parte , x → +∞, cand t → +∞, dar nu exista. Asadar, nu exista asimptote orizontale. Deoarece , nu exista nici asimptote oblice. Alura cicloidei este data in fig. 2.3.

Fig. 2.3

2) Foliul lui Descartes. Are ecuatiile parametrice

, t ¹ -1 (2.6)

Intersectia imaginii curbei cu axele de coordonate este originea axelor de coordonate
(t = 0). Prin calcul obtinem . Sa remarcam ca , , deci nu exista asimptote verticale si orizontale. Totodata

Asadar, dreapta este asimptota oblica.

Tabloul de varitie este:

Alura curbei este cea din fig. 2.4.

Fig. 2.4.

2. Reprezentarea explicita

Fie , f I C (I). Graficul sau G_f = este urma drumului parametrizat , de ecuatii parametrice

Aceste curbe au fost studiate in liceu.

3. Reprezentarea implicita

Fie o multime deschisa si , F I C (D). Multimea

Γ (2.7)

se numeste curba plana de clasa C¹ avand ecuatia carteziana

F(x, y) = 0

Un punct (x₀, y₀) I Γ se numeste singular daca

Teorema urmatoare precizeaza sensul in care Γ este o curba.

Teorema 2.3. Fie (x₀, y₀) I Γ, astfel incat

grad.

Exista o vecinatate V a punctului (x₀, y₀), astfel incat este urma unei curbe.

Demonstratie. Folosim teorema functiilor implicite. Daca, de exemplu,

atunci exista o vecinatate deschisa I a punctului x₀ si o vecinatate deschisa U a punctului y₀, astfel incat V = I U Ì D, precum si functia unic determinata f : I → U, f I C (I), astfel incat

In concluzie, local, putem gasi un drum parametrizat neted avand acelasi suport cu Γ

Exemple.

1) Fie , unde a > 0, b > 0. Dupa cum se stie, in acest caz, ecuatia F(x, y) = 0 este ecuatia unei elipse de semiaxe a, b, relativ la reperul dat de axele de simetrie ale elipsei. Multimea (2.7) este curba in sensul teoremei 2.3. Intr-adevar, daca grad F(x₀, y₀) = , rezulta ca x₀ = 0, y₀ = 0. Dar (0, 0) , deci grad F(x₀, y₀) ¹ (x₀, y₀) I Γ. Prin urmare, teorema 2.3 se poate aplica.

2) Sa consideram multimea . Se constata ca (0, 0) este punct singular. Pentru a obtine o reprezentare parametrica a curbei, vom intersecta curba cu dreapta y = tx. Daca x = 0, se obtine punctul singular (0, 0). Pentru t ¹ -1, se obtin ecuatiile (2.6), adica ecuatiile parametrice ale foliului lui Descartes.

4. Reprezentarea in coordonate polare

Ecuatia unei curbe in coordonate polare este de forma

unde ρ si θ sunt coordonatele polare ale unui punct din plan, iar este o functie derivabila. In acest caz, f(θ) este coordonata ρ. In consecinta, curba are ecuatiile parametrice

(2.8)

Exemple.

1) Spirala lui Arhimede. Este curba plana de ecuatie ρ = aθ θ 0, a > 0. Deoarece
) = a > 0, ) creste cand creste. Cum reprezentarea parametrica este , rezulta ca graficul intersecteaza axele de coordonate cand ia valorile 0, . Graficul este o spirala. Tinand seama de urmatorul tabou de variatie

alura acestei spirale este cea din fig. 2.5.

Fig. 2.5.

2) Rozeta cu trei foi. Este curba de ecuatie . Conditia ρ 0 este satisfacuta pe [0, 2p] pentru . Daca doua valori ale lui q difera print-un multiplu de 2p este acelasi, deci punctele corespunzatoare coicid. Deoarece q) = -3asin3q, tabloul de variatie este

iar graficul este:

Fig. 2.6.