Inegalitati intre laturi si arie

Inegalitati intre laturi si arie

Aplicatia II.5.1: Sa se arate ca in orice triunghi ABC are loc inegalitatea:

Solutie:

Tinand cont de formula lui Heron pentru calculul ariei unui triunghi, relatia din enunt este echivalenta cu: si daca notam cu , , , avem , , , iar noua egalitate va fi echivalenta cu: , care este evidenta in baza inegalitatii: , cu egalitate in cazul triunghiului echilateral.

Aplicatia II.5.2: Sa se arate ca in orice triunghi ABC are loc inegalitatea: .

Solutie:

Din relatia deducem ca:

adica .

Aplicatia II.5.3 (Problema 0.110 G.M. nr.10/1980): In triunghiul ABC notam cu M,N,P mijloacele laturilor, , si fie , , si . Sa se demonstreze ca: .

Solutie:

Fie triunghiul ABC si M,N,P mijloacele

laturilor , , , iar ,

, si (fig.II.5.1). Consideram

; ; , evident

.

.

In mod analog: , iar .

Cum avem: fig.II.5.1

ceea ce implica:

si, deci , de unde rezulta:

si prin urmare . Notam cu , obtinem:

si deci .

Pe de alta parte,

si cum , iar , avand in vedere cele de mai sus, .

Aplicatia II.5.4: Sa se arate ca in orice triunghi ABC, cu lungimile laturilor a,b,c avem:

a) , ,

b)

Solutie:

a) , ceea ce implica: , cu egalitate pentru si . Celelalte doua inegalitati se obtin in mod analog:

b)

si prin urmare .

Aplicatia II.5.5: Sa se arate ca in orice triunghi ABC avem:

Solutie:

Deci cu egalitate daca si numai daca :

adica a=b=c.

Aplicatia II.5.6: Fiind dat triunghiul ABC, alegem un punct oarecare pe una din laturile sale si ducem din el paralele la celelalte laturi ale triunghiului. Notam cu ariile triunghiurilor ce se formeaza prin construirea acestor paralele si cu S aria triunghiului dat (fig.II.5.2) sa se arate ca este adevarata inegalitatea :

Solutie:

:

Fie MB=x, MC=y, MB+MC=BC; x+y=a

deci

fig.II.5.2

Avem egalitate pentru , deci M este la mijlocul lui [BC].

Prin absurd:

contradictie. Deci , BM=MC.

Aplicatia II.5.7: Fie ABC un triunghi. Sa se arate ca are loc inegalitatea:

.

Solutie:

Scriind cunoscuta inegalitate a lui Euler: , obtinem:

Folosind inegalitatea mediilor: si inegalitatea Caucky-Buniakovski-Schwartz:

, avem:

.