Inegalitati referitoare la unghiurile unui triunghi

Inegalitati referitoare la unghiurile unui triunghi

Aplicatia II.3.1: Fie triunghiul ABC cu . Sa se arate ca si .

Solutie:

Fie triunghiul ABC cu . Cum , deducem ca:

si deci , iar, ceea ce implica

si .

Aplicatia II.3.2: Demonstrati ca:

Daca , , si atunci

1)

2)

Solutie:

Vom aplica inegalitatea Jensen si anume:

Consideram functia pe segmentul . Pe acest segment functia este concava conform definitiei clasice, intrucat , pentru . Luand doua puncte , functia devine

adica .

Inegalitatea Jensen aplicata pentru si ; ; ne da .

Daca luam , , cu ;

avem de unde

. In mod analog se demonstreaza si a doua relatie.

Aplicatia II.3.3: Sa se arate ca:

Solutia 1:

Stim ca . Am aplicat inegalitatea mediilor ;

Solutia 2:

deci .

Aplicatia II.3.4: Fie triunghiul ABC cu x,y,z masurile unghiurilor , , , in radiani atunci: unde a,b,c sunt lungimile laturilor triunghiului.

Solutie:

Stim ca , atunci deci ; ;

Insumam si obtinem:

, deci deci:

Daca , avem inegalitatea evidenta: .

Dar deci inegalitatile sunt demonstrate.

Aplicatia II.3.5: Sa se demonstreze ca intr-un triunghi ABC:

Solutie:

Din teorema sinusului avem: . Dar . Deci dupa simplificare obtinem:

.

Aplicatia II.3.6: Sa se demonstreze ca un triunghi este ascutitunghic daca si numai daca: .

Solutie:

Din egalitatea II.1.1.15 si teorema sinusurilor , rezulta: .

Daca rezulta , adica triunghiul este ascutitunghic. Daca triunghiul este ascutitunghic, atunci avem: si cum .

Aplicatia II.3.7: Sa se demonstreze ca intr-un triunghi: .

Solutie:

Conform relatiei de egalitate din problema precedenta avem:

. Din inegalitatea , rezulta:

.

Aplicatia II.3.8: Sa se demonstreze ca intr-un triunghi ascutitunghic:

.

Solutie:

Intr-un triunghi ascutitunghic putem sa avem una si numai una din variante:

sau . In ambele cazuri avem:

.

Deoarece avem: .

Dar sau , deci .

Dar . Inlocuind avem: sau , deci .

Observatie: Daca in inegalitatea din enunt inlocuim cu egalitatea II.1.1.14

si teorema sinusurilor , obtinem sau .

Aplicatia II.3.9: Sa se demonstreze ca intr-un triunghi oarecare avem:

Solutie:

Rezolvam problema prin dualitate. Fie un triunghi oarecare ABC. Atunci exista triunghiul ascutitunghic cu unghiurile ; ; . Aplicand inegalitatea din problema precedenta avem:

si inlocuind obtinem: .

Aplicatia II.3.10 J.M. Child: Intr-un triunghi oarecare, .

Solutie:

Din problema II.3.5 rezulta

.