Vectori liberi (Definitii) - Operatii cu vectori liberi

Vectori liberi

Vectori liberi

Fie spatiul tridimensional al geometriei elementare, spatiu conceput ca o multime de puncte si in care sunt valabile axiomele lui Euclid.

Definitii 1.1: Se numeste vector legat sau segment orientat o pereche ordonata de puncte .

fig. 1

Punctul A se numeste originea, iar B varful sau extremitatea vectorului legat (A,B).

Daca , atunci dreapta determinata de punctele A si B se numeste directia vectorului legat (A,B). Daca , atunci obtinem vectorul legat (A,A), numit vector legat nul. Directia oricarui vector legat nul este nedeterminata.

Se numeste lungime sau norma sau modul a unui vector legat (A,B) numarul real pozitiv care reprezinta distanta dintre punctele A si B (relativa la o unitate de masura fixata).

Evident, un vector legat este nul daca si numai daca lungimea lui este zero.

Definitii1.2: Fie (A,B) si (C,D) doi vectori legati nenuli.

1. Spunem ca (A,B) si (C,D) au aceeasi directie daca dreptele lor suport sunt paralele. In cazul particular in care dreptele suport coincid, vom spune ca vectorii legati sunt coliniari.

2. Daca A,B,C,D sunt puncte necoliniare, vectorii legati (A,B) si (C,D) au aceeasi directie, iar punctele B si D se afla de aceeasi parte a dreptei AC, vom spune ca (A,B) si (C,D) au acelasi sens (fig. 2). Daca A,B,C,D sunt puncte coliniare si exista doua puncte E, F, nesituate pe dreapta determinata de cele patru puncte initiale, astfel incat vectorul legat (E,F) au acelasi sens si cu (A,B) si cu (C,D), vom spune ca (A,B) si (C,D) au acelasi sens.

fig. 2

Definitia 1.3: Doi vectori legati (A,B) si (C,D) se numesc echipolenti si vom nota (A,B)~(C,D), daca au acelasi sens si aceeasi lungime sau, echivalent, daca segmentele [AC] si [BD] au acelasi mijloc.

fig. 3

Observatie: Se poate verifica fara dificultate ca relatia de echipolenta pe multimea vectorilor legati are proprietatile:

este reflexiva: (A,B)~(A,B);

este simetrica: daca (A,B)~(C,D), atunci si (C,D~(A,B);

este tranzitiva: daca (A,B)~(C,D) si (C,D)~(E,F), atunci (A,B)~(E,F).

Astfel, putem afirma ca echipolenta vectorilor legati este o relatie de echivalenta.

Relatia de echipolenta poate fi extinsa si la vectorii legati nuli: orice doi vectori legati nuli sunt echipolenti intre ei.

Fiind dat vectorul legat (A,B), exista o infinitate de vectori legati echipolenti cu (A,B) (practic, cu originea in orice punct al spatiului putem construi un vector echipolent cu (A,B) si numai unul).

Definitia 1.4: Clasele de echivalenta ale vectorilor legati, relativ la relatia de echipolenta, se numesc vectori liberi. Cu alte cuvinte, un vector liber reprezinta multimea tuturor vectorilor legati echipolenti cu un vector legat dat. Daca (A,B) este un vector legat, atunci vom nota cu vectorul liber corespunzator, adica

Vom nota cu multimea tuturor vectorilor liberi din spatiul .

Un vector legat (A,B) determina un vector liber (o clasa de echivalenta) si vom spune ca este un reprezentant al vectorului liber determinat. Vom nota .

Uneori, vectorii liberi se noteaza si cu litere mici cu sageata deasupra:

Definitia 1.5: Prin directie, sens si lungime a unui vector liber vom intelege directia, sensul si respectiv lungimea unui reprezentant al vectorului liber. Daca este un vector liber, vom nota cu lungimea vectorului liber.

Observatie : Un vector legat este caracterizat prin: origine, directie, sens si lungime. In cazul unui vector liber, caracteristice sunt numai directia, sensul si lungimea. Asadar putem considera un vector liber dat ca avand originea in orice punct din spatiu.

Definitia 1.6: Vectorul liber de lungime zero se numeste vector nul si se noteaza .

Ca reprezentant al vectorului nul putem lua vectorul legat (A,A), cu arbitrar. Directia si sensul vectorului liber nul sunt nedeterminate.

Definitia 1.7: Un vector liber de lungime unu se numeste versor.

Definitia 1.8: Doi vectori liberi si se numesc egali si scriem in cazul in care reprezentantii lor sunt echipolenti.

Definitia 1.9: Doi vectori liberi nenuli si care au aceeasi directie se numesc vectori coliniari. Trei vectori liberi nenuli care admit reprezentanti situati intr-un acelasi plan se numesc coplanari.

Definitia 1.10: Doi vectori coliniari care au aceeasi lungime, dar sensuri opuse se numesc vectori opusi; opusul vectorului liber va fi notat cu .

Operatii cu vectori liberi

Definitia 2.1: Fie si doi vectori liberi, O punct fixat in spatiul si consideram vectorii si astfel incat si . Atunci suma vectorilor si , notata este vectorul , unde OC este diagonala paralelogramului OACB.

Obsevatie: Definitia precedenta este cunoscuta sub numele de regula paralelogramului. Aceasta regula de adunare a vectorilor are la baza fapte experimentale si a fost obtinuta mai intai la compunerea (adunarea) fortelor in mecanica.

fig. 4

Se poate vedea ca, daca se considera punctele A si B in astfel incat si , atunci vectorul va reprezenta suma . Aceasta metoda de adunare a doi vectori liberi este cunoscuta sub numele de regula triunghiului.

Observatie : Regula triunghiului se generalizeaza la regula liniei poligonale, prin intermediul careia pot fi adunati un numar de n vectori liberi , astfel: pornind din punctul O se construieste linia poligonala , cu ,

; atunci suma este .

fig.

Propozitia 2.2: Operatia de adunare a vectorilor liberi are urmatoarele proprietati:

1. este comutativa , pentru orice ;

2. este asociativa , pentru orice ;

3. are element neutru, vectorul nul , pentru orice ;

4. orice element este simetrizabil: pentru orice vector liber exista un vector notat astfel incat ( este chiar opusul vectorului , definit in paragraful anterior).

Demonstratie:

1. Proprietatea de comutativitate a adunarii vectorilor liberi este imediata daca se tine cont de regula paralelogramului.

2. Fie arbitari. Proprietatea de asociativitate este evidenta daca se foloseste regula triunghiului:

fig.

3. si 4. Clar.

Observatii : 1. Din Propozitia precedenta rezulta ca este un grup abelian.

2. Cu ajutorul vectorului opus se poate efectua scaderea a doi vectori astfel . Din punct de vedere grafic, diferenta este cea de-a doua diagonala a paralelogramului construit pe vectorii si , cu sensul catre vectorul din care se scade.

Definitie 2.3: Fie un vector liber si . Se numeste inmultire a vectorului cu scalarul (numarul real) si se noteaza vectorul definit astfel:

- daca si , atunci are lungimea , aceeasi directie cu , iar sensul coincide cu al lui sau este opus sensului lui , dupa cum sau .

- daca sau , atunci .

Propozitia 2.4: Inmultirea vectorilor liberi cu scalari are proprietatile:

, ;

, ;

, ;

, .

Demonstratie:

Sa observam mai intai ca atat scalarii cat si vectorii care apar in relatiile din propozitie pot fi presupusi nenuli (in caz contrar, relatiile sunt evidente, din definitia inmultirii unui vector liber cu un scalar).

1. Vom considera urmatoarele cazuri:

i) . Rezulta ca . Vectorii si vor avea aceeasi directie si acelasi sens cu . Cu privire la lungimile lor, obtinem:

.

Astfel putem conchide ca in acest caz .

ii) se trateaza similar cazului anterior.

iii) si . Fara a restrange generalitatea, putem presupune . Atunci:

(la penultima egalitate s-a folosit punctul i), scalarii si fiind ambii pozitivi).

iv) si se trateaza similar cazului anterior.

2. Consideram vectorii si . Atunci . Presupunem (cazul fiind similar). Fie punctele astfel incat si .

Atunci avem asemanarea , deci segmentele si vor fi paralele, iar intre lungimile lor exista relatia: . Astfel, obtinem ca . Aplicand regula triunghiului gasim ca , adica .

3. si 4. Clar, din definitia inmultirii unui vector liber cu un scalar, daca se tine cont de orientarile si lungimile vectorilor care apar in ambii membri ai egalitatilor de demonstrat.

Propozitia 2.5: Fie doi vectori liberi. Atunci si sunt coliniari daca si numai daca exista un unic scalar astfel incat .

Demonstratie:

Presupunem ca vectorii si sunt coliniari. Consideram versorii lor si . Deoarece si sunt coliniari, atunci si vor fi coliniari. Tinand cont si ca , rezulta ca si vor fi sau egali sau opusi, deci sau . Astfel , cu . Unicitatea lui este clara, deoarece daca si au acelasi sens, respectiv daca si au sensuri opuse.

Teorema 2.6: Fie si doi vectori liberi necoliniari. Daca este un vector liber coplanar cu vectorii si , atunci exista si sunt unici scalarii si astfel incat .

Demonstratie:

Daca sau ar fi vector nul, atunci si ar fi coliniari, ceea ce contrazice

ipoteza. Deci .

Daca , atunci putem considera si concluzia teoremei este clara.

Asadar, in cele ce urmeaza, vom lucra cu vectori liberi nenuli. Fie O punct arbitrar in spatiul si vectorii . Coplanaritatea vectorilor este echivalenta cu coplanaritatea punctelor O, A, B si C.

Prin punctul C vom duce paralele la vectorii si si notam cu B', A' intersectiile acestor paralele cu directiile vectorilor si respectiv . Obtinem astfel paralelogramul OA'CB'.

Evident . Pe de alta parte, deoarece vectorii si sunt coliniari, din Propozitia rezulta ca exista si este unic un scalar astfel incat . Similar, folosind coliniaritatea vectorilor si , obtinem ca exista si este unic un scalar astfel incat . Deci , cu scalari unic determinati.

Teorema 2.7: Fie si trei vectori liberi necoplanari. Daca este un vector liber, atunci exista si sunt unici scalarii astfel incat .

Demonstratie:

Vectorii si sunt nenuli (altfel s-ar contrazice conditia de necoplanaritate din ipoteza).

Daca , atunci putem lua si concluzia teoremei este clara.

De asemeni, daca este coplanar cu doi dintre vectorii , atunci ne reducem la cazul Teoremei precedente.

Astfel, in cele ce urmeaza, vom considera ca vectorii si sunt nenuli si oricare trei sunt necoplanari. Fie O punct arbitrar in spatiul si vectorii si . Prin punctul M construim paralela la vectorul si notam cu N puncul de intersectie al acestei paralele cu planul determinat de vectorii si . Pe dreptele suport ale vectorilor , si se considera punctele A', B' si respectiv C' astfel incat patrulaterele OA'NB' si ONMC' sunt paralelograme (vezi fig.)

Este clar ca (1)

Folosind Propozitia obtinem ca exista si sunt unici scalarii astfel incat , si (2)

Inlocuind relatiile (2) in (1), gasim ca .

In finalul acestui paragraf, prezentam o propozitie deosebit de utila in anumite probleme de geometrie vectoriala, asa cum vom vedea.

Propozitia 2.8: Fie A, M, B trei puncte coliniare, cu M situat intre A si B. Daca O este un punct arbitrar in spatiu si , atunci

(*)

Demonstratie:

Evident k este un scalar pozitiv (fiind raportul a doua lungimi de vectori). Deoarece si sunt vectori coliniari de sensuri opuse si , rezulta ca

(1)

Dar, din triunghiurile OAM si OBM gasim ca

(2)

si respectiv

(3)

Inlocuind relatiile (2) si (3) in (1), obtinem ca:

,

de unde rezulta ca .

Caz particular important: Daca M este mijlocul segmentului [AB], atunci k=1, deci relatia (*) devine:

. (**)

Exercitiul 1: Sa se arate, cu ajutorul calculului vectorial, ca medianele intr-un triunghi sunt concurente.

Solutie:

Fie mijloacele laturilor BC, CA si respectiv AB. Notam , si . Din regula triunghiului rezulta . Aplicand relatia (**), vom gasi: si .

Vectorii si fiind coliniari, exista un scalar astfel incat . Similar, putem gasi scalarul astfel incat . Dar . Inlocuind in functie de vectorii si , egalitatea precedenta conduce la relatia: . Prin gruparea convenabila a termenilor se obtine ca:

.

Pentru a exista triunghiul ABC este clar ca vectorii si trebuie sa fie necoliniari. Astfel, din egalitatea precedenta rezulta ca , de unde se obtine ca .

Deci punctul G este situat pe medianele si la doua treimi de varf si o treime de baza. Daca vom considera acum , printr-un rationament similar celui anterior vom obtine ca G' este situat pe medianele si la doua treimi de varf si o treime de baza si astfel ceea ce inseamna concurenta medianelor triunghiului ABC.

Observatie: Pe parcursul rezolvarii Exercitiului 1 s-a demonstrat ca centrul de greutate al unui triunghi se afla situat la doua treimi de varf si o treime de baza pe fiecare dintre mediane.

Exercitiul 2: Fie ABC un triunghi oarecare si G centrul sau de greutate. Daca O este un punct arbitrar in spatiu, sa se arate ca

Solutie:

Fie A' mijlocul laturii BC. Dupa cum am vazut, centrul de greutate intr-un triunghi se afla situat la o treime de baza si doua treimi de varf, pe fiecare dintre mediane. Astfel, Aplicand relatia (*) punctelor coliniare A, G, A', va rezulta ca .

A' fiind mijlocul segmentului [BC], din (**) obtinem ca Din ultimele doua relatii se obtine egalitatea ceruta.

Lasam cititorului ca tema urmatorul:

Exercitiul 3: Fie ABCD un tetraedru oarecare si G centrul sau de greutate. Daca O este un punct arbitrar in spatiu, sa se arate ca

.

(Centrul de greutate al unui tetraedru se afla la intersectia medianelor tetraedrului - segmentele care unesc varfurile tetraedrului cu centrele de greutate ale fetelor opuse. Centrul de greutate se afla pozitionat la un sfert de fata si trei sferturi de varf, pe fiecare dintre medianele tetraedrului.)

Expresia analitica a unui vector liber

Exista mai multe posibilitati de a descrie si studia obiectele geometrice in spatiul tridimensional. Cea mai veche metoda, utilizata pentru prima data de matematicienii Greciei antice si formalizata de Euclid, consta in studiul axiomatic al acestor obiecte: se definesc punctele, liniile, planele si alte obiecte geometrice prin intermediul axiomelor pe care le satisfac.

O alta metoda, datorata lui Descartes, propune pentru rezolvarea problemelor de geometrie o abordare algebrica, dupa cum urmeaza: se fixeaza mai intai un punct O ca origine si apoi se traseaza trei axe perpendiculare doua cate doua in punctul O (prin axa intelegem o dreapta pe care s-au fixat o origine, un sens si o unitate de masura). Vom conveni ca cele trei axe sa fie dispuse ca in figura de mai jos:

Axa Ox se numeste axa absciselor, Oy axa ordonatelor, iar Oz axa cotelor. Pe cele trei axe de coordonate se vor considera versorii avand aceeasi orientare cu Ox, Oy, respectiv Oz si originea in punctul O. Vom nota acest sistem de ortogonal de coordonate prin Oxyz.

Cum versorii sunt necoplanari, conform Teoremei 2.7, orice vector liber se scrie in mod unic sub forma:

. (1)

Scalarii se numesc compenentele vectorului , iar relatia (1) este cunoscuta sub numele de expresia analitica a vectorului .

Consideram M un punct oarecare din spatiu. In raport cu sistemul de coordonate considerat, punctul M are coordonate . Vom desemna acest lucru prin notatia . Din procedeul descompunerii unui vector dupa trei directii necoplanare, indicat in demonstratia Teoremei 2.7, precum si din reprezentarea punctelor in sistemul de ortogonal de coordonate Oxyz, se obtine ca:

. (2)

Propozitia 3.1: Fie si doua puncte in spatiu. Atunci vectorul are expresia analitica:

.

Demonstratie:

Conform relatiei (2), avem: si . Deoarece , folosind egalitatile precedente obtinem relatia dorita.

Produsul scalar

Definitia 4.1: Fie . Numim unghi determinat de vectorii si notam cu unghiul format de dreptele suport ale celor doi vectori astfel incat varfurile celor doi vectori sa se afle pe cele doua laturi ale unghiului (vezi fig. 1).

fig.2

Definitia 4.2: Fie . Se numeste produs scalar al vectorilor si si se noteaza cu numarul real dat de formula . Daca sau , atunci prin definitie .

Obsevatie: Din definitia precedenta se obtine imediat o prima formula de calcul a unghiului dintre doi vectori nenuli:

Astfel, ca o consecinta, obtinem ca doi vectori nenuli si sunt ortogonali daca si numai daca .

Interpretarea mecanica a produsului scalar: Daca si sunt doi vectori, O este un punct material asupra caruia se exercita o forta si care efectueaza o deplasare definita de vectorul , atunci produsul scalar este chiar lucrul mecanic L al fortei pentru deplasarea .

fig. 3

Definitia 4.3: Daca , iar , atunci numarul real se numeste marimea proiectiei ortogonale a vectorului pe vectorul si se noteaza . Daca , atunci prin definitie . Daca , atunci nu exista .

Observatie: Din definitiile produsului scalar si respectiv a marimii proiectiei ortogo-nale a unui vector pe un alt vector, obtinem ca

.

Propozitia 4.4: Marimea proiectiei ortogonale are proprietatile:

, pentru orice ;

, pentru orice si .

fig fig

Demonstratie:

1. Fie O punct arbitrar in spatiul si punctele A,B,C astfel incat . Atunci , si . Deoarece , rezulta ca .

2. Presupunem mai intai ca >0. Consideram punctele A,A' astfel incat si . Din asemanarea triunghiurilor si rezulta ca , de unde obtinem , ceea ce inseamna ca .

Daca atunci din Definitia 4.3 egalitatea de demonstrat devine 0=0.

Daca <0, se procedeaza similar cazului >0.

Propozitia 4.4: Produsul scalar al vectorilor liberi are proprietatile:

, pentru orice ;

, pentru orice si ;

, pentru orice .

Demonstratie:

1. Este evident din definitia produslui scalar, avand in vedere ca unghiul dintre vecto-rii si coincide cu unghiul dintre si .

2. Este suficient sa demonstram prima egalitate.

Daca , atunci .

Daca >0, atunci vectorii si au acelasi sens, deci =. In acest caz, obtinem:

.

Daca <0, atunci vectorii si au sensuri opuse. Astfel = deci . In acest caz, obtinem:

.

Teorema 4.5 (Expresia analitica a produsului scalar): Fie si doi vectori liberi, dati sub forma analitica. Atunci produsul lor scalar se calculeaza cu formula:

.

Demonstratie:

Determinam mai intai valorile produsului scalar pe multimea versorilor . De exemplu, din definitia produsului scalar obtinem:

si ,

rezultatele produsului scalar pe multimea versorilor axelor de coordonate putand fi date sub forma tabelului:

Tinand cont de proprietatile produsului scalar si de tabelul precedent, obtinem succesiv:

Corolarul 4.6: Daca este un vector liber, atunci

Demonstratie:

Daca , atunci evident .

Daca , atunci din Definitia 1.2 obtinem , iar din Teorema 1.4 avem , de unde gasim .

Exercitiul 1: Sa se determine scalarul astfel incat vectorii si sa fie perpendiculari.

Solutie:

Asa cum s-a vazut anterior, perpendicularitatea vectorilor si este echivalenta cu egalitatea . Utilizand expresia analitica a produsului scalar, obtinem ca , de unde .

Exercitiul 2: Daca astfel incat , =2, iar unghiul dintre cei doi vectori este , sa se determine unghiul dintre diagonalele paralelogramului construit pe cei doi vectori.

Solutie:

fig.3

Deoarece la acest moment avem o formula de calcul numai pentru unghiul dintre doi vectori, este natural sa dam semnificatie de vectori celor doua diagonale , respectiv (vezi fig. 2). Pentru determinarea unghiului format de acesti doi vectori, folosim:

Dar . De asemenea,

, de unde . Similar gasim . In final obtinem .

Exercitiul 3: Se considera vectorii si . Sa se determine versorul bisectoarei unghiului .

Solutie:

Determinam mai intai versorii corespunzatori celor doi vectori dati:

si , deci si sunt versorii vectorilor , resp. . Paralelogramul determinat de versorii si este de fapt un romb, deci bisectoarea unghiului determinat de cei doi vectori coincide cu diagonala care trece prin punctul O. Daca notam , atunci versorul bisectoarei unghiului cautat va fi : .

Exercitiul 4: Demonstrati ca intr-un triunghi inaltimile sunt concurente.

Solutie:

Fie si inaltimile corespunzatoare laturilor AC si respectiv AB. Notam . Vom demonstra ca .

Introducem vectorii , si . Rezulta ca , si . Deoarece si , obtinem ca si . Prin adunarea ultimelor doua relatii gasim , adica , ceea ce implica .

Produsul vectorial

Definitia Fie doi vectori necoliniari. Se numeste produs vectorial al vectorilor si si se noteaza cu :

- directie perpendiculara pe vectorii si ;

- sens dat de regula burghiului, adica sensul de avansare al burghiului cand se deplaseaza vectorul peste vectorul (vezi fig. );

- marime data de formula .

Daca sau , sau vectorii si sunt coliniari, atunci prin definitie .

fig. 3

Observatie: Formula de calcul a marimii produsului vectorial furnizeaza o alta modalitate de determinare a unghiului dintre doi vectori nenului:

In consecinta, doi vectori liberi nenuli sunt coliniari daca si numai daca produsul lor vectorial este zero.

Interpretarea geometrica a produsului vectorial: Marimea produsului vectorial a doi vectori nenuli si necoliniari este egala cu aria paralelogramului construit pe cei doi vectori (pentru demonstrarea acestui rezultat indicam utilizarea formulei ariei unui triunghi ABC ca )

Propozitia 5.2: Produsul vectorial are proprietatile:

, pentru orice ;

, pentru orice si ;

, pentru orice .

Demonstratie:

1. Schimband ordinea factorilor in produsul vectorial, directia si marimea acestuia nu se modifica. Se va schimba doar sensul. Astfel, avem ca , deci produsul vectorial este anticomutativ.

2. Vom demonstra prima egalitate, pentru cea de-a doua procedandu-se analog.

Daca , atunci fiecare termen al egalitatii ce trebuie probata devine vectorul nul.

Daca >0, atunci = si vectorii , si vor avea acelasi sens. Pe de alta parte,

,

deci putem conchide ca .

Daca <0, atunci = si in plus , sunt coliniari. Mai mult,

.

Deci si in acest caz .

Teorema 5.3 (Expresia analitica a produsului vectorial): Fie si doi vectori liberi, dati sub forma analitica. Atunci produsul lor vectorial se calculeaza cu formula:

.

Demonstratie:

Determinam mai intai valorile produsului vectorial pe multimea versorilor . De exemplu, din Definitia 2.1 si din orientarea versorilor (vezi fig.) obtinem:

si .

Rationand astfel, rezultatele produsului vectorial pe multimea versorilor axelor de coordonate pot fi date sub forma tablelului

Din proprietatile produsului vectorial si din rezultatele tabelului precedent obtinem:

Pe de alta parte:

.

Comparand relatiile , obtinem formula dorita.

Exercitiul 1: Studiati coliniaritatea punctelor: A(-1,3,2), B(0,4,1) si C(2,6,0).

Solutie:

Punctele A(-1,3,2), B(0,4,1) si C(2,6,0) sunt coliniare daca si numai daca vectorii si sunt coliniari, adica .

Dar , deci cele trei puncte sunt coliniare.

Produsul mixt

Definitia 6.1: Fie . Se numeste produs mixt al vectorilor si se noteaza cu scalarul dat de relatia:

Teorema 6.2: (Expresia analitica a produsului mixt): Fie , si doi vectori liberi, dati sub forma analitica. Atunci produsul mixt al celor trei vectori se poate calcula prin formula:

Demonstratie:

Din expresia analitica a produsului vectorial obtinem ca:

.

Folosind acum definitia produsului mixt si expresia analitica a produsului scalar, rezulta ca:

(ultima egalitate, privita de la dreapta la stanga, reprezinta dezvoltarea dupa prima a determinantului de ordinul trei).

Interpretarea geometrica a produsului mixt: Modulul produsului mixt este egal cu volumul paralelipipedului construit pe cei trei vectori.

Intr-adevar, volumul paralelipipedului este dat de produsul dintre aria bazei A_b si inaltimea paralelipipedului h. Dar aria bazei A_b este (vezi interpretarea geometrica a produsului vectorial), iar unghiul dintre vectorii si coincide cu unghiul dintre vectorul si inaltimea h, deci h.

fig. 4

Obtinem astfel: A_bh, deci concluzia dorita.

Aplicatie importanta: Calculul volumului unui tetraedru

Volumul tetraedrului OABC este .