DOBANDA COMPUSA

DOBANDA COMPUSA

Prezentarea problemei : operatiuni financiare fractionate , cu capitalizarea dobanzii

Dispunem de datele urmatoare :

Presupunem ca se efectueaza urmatoarele operatiuni :

la inceputul perioadei t₁ se constituie un depozit de valoare nominala S₀ ;

la sfarsitul perioadei t₁: depozitul se lichideaza si valoarea finala obtinuta se constituie depozit pe perioada de timp t₂, cu procentul nominal de dobanda simpla p₂ , etc

in general : valoarea finala a depozitului,corespunzatoare perioadei t_k-1 , este luata drept valoare initiala pentru perioada t_k.

Ne propunem sa determinam valoarea depozitului , la sfarsitul perioadei finale t_n .

Vom folosi urmatoarele notatii :

A_k = valoarea depozitului la inceputul perioadei t_k ;

B_k = valoarea depozitului la sfarsitul perioadei t_k ;

Avem urmatoarele relatii de recurenta :

In general,vom avea :

Raspuns : avem

. (1)

Operatiunea de anuitati nealimentate :este un caz particular , anume cazul in care avem

Pentru aceasta operatiune avem evident :

Operatiunea de dobanda compusa corespunde cazului unor anuitati nealimentate , cu procent constant

adica : .

Atunci avem :

Determinarea procentului mediu de dobanda simpla si a procentului mediu de dobanda compusa in cazul unei operatiuni cu procent de dobanda variabil .

Fie datele :

Atunci perioada totala a operatiunii este : : presupunem ca la inceputul perioadei T se constituie un depozit cu valoarea nominala S₀ .

Procentul mediu de dobanda simpla pe perioada T , corespunzator procentelor si duratelor din tabel , este procentul notat , care , la sfarsitul perioadei T , produce o suma finala de valoare .

.(1)

Calculand valoarea finala a sumei S₀ in regim de dobanda simpla , gasim

(2)

Egaland expresiile (1) , (2) , gasim:

(3).

Expresia (3) da valoarea procentului mediu echivalent de dobanda simpla , corespunzator unei operatiuni cu procent de dobanda variabil in timp.

- Procentul mediu de dobanda compusa pe perioada T , corespunzator procentelor si duratelor din tabel , este procentul notat , care , la sfarsitul perioadei T , produce o suma finala de valoare . .(1)

Calculand valoarea finala a sumei S₀ in regim de dobanda compusa , gasim

(4)

Egaland expresiile (1) , (4) , gasim:

(5).

Expresia (5) da valoarea procentului mediu echivalent de dobanda compusa , corespunzator unei operatiuni cu procent de dobanda variabil in timp.

Aplicatie: pentru operatiunea in regim de dobanda simpla cu capitalizare , pe 19 luni , descrisa in tabelul urmator:

Sa determinam procentele medii echivalente

Rezolvare : avem

Atunci : - din formula (3) gasim :

- din formula (5) gasim :

Metoda comerciala de calcul al procentului de dobanda compusa corespunzator unei fractiuni a anului

Formula riguroasa de determinare a procentului fractionat nu este considerata ca fiind de referinta in literatura , fiind utilizata numai in studii strict teoretice .

Varianta curenta , numita " metoda comerciala " , consta in urmatoarele :

se da rata anuala a dobanzii, notata cu " r " ;

se da numarul de subperioade in care este impartit anul (*) , notat cu "n" ;

(*) adica : n=2 pentru rata semestriala ; n= 4 pentru rata trimestriala , etc

.

Aceasta rata , pe care o numim " rata anuala efectiva " ,este mai mare decat rata anuala nominala : de exemplu , pentru rata anuala nominala de : r = 0,24 ( deci p = 24%) , avem :

pentru n = 2 , rata anuala efectiva va fi de 0,2544 ( adica p = 25,44%) ;

pentru n = 4 , rata anuala efectiva va fi de 0,2625 ( adica   p = 26,25%) ;

pentru n = 12 , rata anuala efectiva va fi de 0,2682 ( adica p = 26,82%) ;