Analiza statistica a seriilor dinamice

Analiza statistica a seriilor dinamice

Sistemul de indicatori ai seriilor dinamice

O serie dinamica este formata din mai multi indicatori de nivel care dau masura fenomenului respectiv la diferite momente sau pe anumite intervale de timp. Analiza evolutiei unui fenomen care este prezentat sub forma unei serii dinamice se poate efectua prin simpla comparare a indicatorilor, prin analiza reprezentarii grafice, prin prelucrarea datelor initiale si obtinerea unor indicatori derivati exprimati in marimi absolute, marimi medii si marimi medii cat si prin ajustarea seriei dinamice cu ajutorul unor metode specifice.

Sistemul indicatorilor statistici cu ajutorul carora pot fi caracterizate seriile dinamice, sunt:

- indicatorii exprimati prin marimi absolute:

- indicatorii de nivel

- indicatorii modificarilor absolute care pot fi calculati in doua variante: cu baza fixa si cu baza variabila (in lant)

- indicatorii exprimati prin marimi relative

- indicii de dinamica calculati cu baza fixa sau cu baza variabila (in lant)

- ritmul dinamicii cu baza fixa sau cu baza variabila (in lant)

- valoarea absoluta a unui procent din ritmul dinamicii

- indicatorii exprimati prin marimi medii

- nivelul mediu

- cresterea sau scaderea medie

- indicele mediu de crestere sau de scadere

- ritmul mediu de crestere sau de scadere

Indicatorii exprimati prin marimi absolute

Indicatorii exprimati prin marimi absolute sunt prezentati in unitati de masura concrete (lei, tone, metri etc.), specifice fenomenului a carui evolutie este analizata.

Indicatorii de nivel sunt reprezentati prin datele initiale, obtinute prin observare, care dimensioneaza volumul caracteristicii studiate ().

Indicatorii modificarilor absolute pot fi calculati in doua variante:

- cu baza fixa: ;

- cu baza variabila (in lant):

Indicatorii exprimati prin marimi relative

Pe baza indicatorilor initiali exprimati in marimi absolute se pot calcula indicatori relativi, care dau o consistenta distincta concluziilor pe care le genereaza. Indicatorii exprimati prin marimi relative sunt:

- indicii de dinamica:

- cu baza fixa: ;

- cu baza variabila (in lant):

- ritmul dinamicii:

- cu baza fixa:

- cu baza variabila (in lant):

- valoarea absoluta a unui procent din ritmul dinamicii

- cu baza fixa:

- cu baza variabila (in lant):

Indicatorii exprimati prin marimi medii

Varietatea nivelurilor absolute initiale, a modificarilor individuale exprimate in cifre absolute sau relative ce caracterizeaza evolutia unui fenomen de la un segment de timp la altul care formeaza perioada considerata pentru a fi cercetata, conditioneaza necesitatea generalizarii acestora cu ajutorul indicatorilor medii.

Indicatorii exprimati prin marimi medii ofera o forma sintetica a evolutiei unui fenomen inregistrata pe parcursul unei perioade de timp date si permit totodata conturarea tendintelor generale de dezvoltare prin eliminarea influentelor datorate unor factori intamplatori. Acesti indicatori sunt:

a)- Nivelul mediu

Nivelul mediu al unei serii dinamice se calculeaza prin procedee distincte, dupa cum aceaste este de intervale de timp sau de momente, asfel

- pentru o serie dinamica de intervale de timp nivelul mediu se calculeaza cu ajutorul mediei aritmetice simple:

- in cazul seriilor dinamice de momente, nivelul mediu al indicatorilor prezentati in serie dinamica se calculeaza cu ajutorul mediei cronologice simple sau ponderate dupa cum intervalele de timp dintre momente sunt egale sau inegale.

b)- Cresterea sau scaderea medie

Cresterea sau scaderea medie absoluta a unui fenomen pe parcursul perioadei supuse studiului se calculeaza prin aplicarea mediei aritmetice simple la modificarile absolute cu baza in lant, asfel:

c)- Indicele mediu de crestere sau de scadere

Indicele mediu de crestere sau de scadere se calculeaza pe baza mediei geometrice simple, a mediei geometrice ponderate, a mediei geometrice corectate sau a metodei autoregresiei, dupa caz.

Indicele mediu caracterizeaza modificarea medie a unui fenomen, care a avut loc de la un segment de timp la altul pe parcursul perioadei de timp supuse cercetarii, in numar de ori de crestere sau de scadere.

d)- Ritmul mediu de crestere sau de scadere

Ritmul mediu de crestere sau de scadere a unui fenomen se determina in forma procentuala pe baza indicelui mediu, astfel:

Ritmul mediu exprima cu cat a crescut sau a scazut fenomenul in perioada studiata.

Exemplul 8

Pe baza seriei dinamice a cifrei de afaceri realizata de o societate comerciala se va exemplifica calculul indicatorilor absoluti, relativi si medii cu ajutorul carora se poate caracteriza evolutia cifrei de afaceri.

Tabelul 10

Dinamica cifrei de afaceri

Se mentioneaza ca suma modificarilor absolute calculate cu baza in lant este egala cu ultima modificare absoluta calculata,cu baza fixa,

si de asemenea, produsul indicilor de dinamica calculati cu baza in lant este egal cu ultimul indice de dinamica calculat cu baza fixa,

Indicatorii medii

- Nivelul mediu anual al cifrei de afaceri, realizat in perioada celor 9 ani supusa studiului,

- Cresterea absoluta medie

- Indicele mediu anual de crestere (media geometrica simpla)

- Ritmul mediu anual de crestere

Ajustarea seriilor dinamice

Evolutia fenomenelor social-economice, modificarile care se produc de la un segment de timp la altul, sunt influentate de un complex de factori esentiali si neesentiali, care pot actiona intr-o paleta larga de forme: concomitent sau succesiv; cu o intensitate mai mare sau mai mica; in acelasi sens sau in sensuri diferite.

Factorii esentiali sau de natura obiectiva imprima fenomenului o evolutie bine determinata, care este reprezentata printr-o traectorie de dezvoltare constituita din doua componente: tendinta generala si tendinta periodica sau sezoniera. Factorii neeesentiali au o reprezentare aleatoare in structura factorilor de influenta si din acest motiv, din punct de vedere statistic, sunt considerati ca formeaza "termenul de eroare".

Analiza unei serii dinamice impune cunoasterea clara a tendintei generale pe care o inregistreaza un fenomen sub actiunea factorilor obiectivi, amploarea modificarilor de natura sezoniera dar si modificarea cauzata de factorii cu actiune intamplatoare. Acest proces de cunoastere complexa este denumit, ajustarea seriilor dinamice sau "modelarea statistica a seriilor dinamice".

Pentru ajustarea seriilor dinamice pot fi utilizate mai multe modalitati statistice, si anume:

- metoda de ajustare grafica

- metode de ajustare mecanica

- metode de ajustare analitica

A) Metoda de ajustare grafica

Ajustarea grafica se bazeaza pe reprezentarea grafica a seriei dinamice sub forma cronogramei (historiogramei) si trasarea vizuala a unei linii drepte sau curbe, dupa caz, care este considerata ca sintetizeaza in mod corespunzator evolutia fenomenului respectiv.

Aceasta metoda are ca suport metodologic intuitia cercetatorului de a identifica tendinta generala atunci cand linia empirica nu sugereaza in mod direct imaginea tendintei fenomenului. Ajustarea grafica are un caracter orientativ si serveste, de regula, pentru alegerea functiei matematice (ecuatiei de trend) cand se procedeaza la aplicarea unor metode analitice de ajustare.

B) Metode de ajustare mecanica

Ajustarea mecanica a seriilor dinamice se realizeaza prin aplicarea in mod mecanic a unei metodologii sau formule considerata ca fiind adecvata pentru seria dinamica supusa analizei.

Metodele de ajustare a seriilor dinamice cu un suport metodologic mecanic de calcul sunt:

- metoda mediilor mobile

- metoda sporului (scaderii) mediu

- metoda indicelui mediu de crestere (scadere)

Ajustarea cu ajutorul mediilor mobile permite caracterizarea tendintei generale a evolutiei unui fenomen prin eliminarea totala sau numai partiala a variabilitatii cauzata de factorii cu actiune sezoniera precum si a termenului rezidual. Acest deziderat se realizeaza prin inlocuirea indicatorilor reali ai seriei dinamice cu indicatori medii calculati pe baza unui numar determinat de indicatori ai seriei initiale. Subperioadele de timp pentru care se calculeaza mediile mobile raman egale ca marime, deplasandu-se de la primul nivel al seriei dinamice cu cate un nivel la calculul fiecarei medii, pana la includerea in calcul a nivelului final al seriei.

Numarul nivelurilor reale care intra in calculul mediilor mobile se stabileste dupa o prealabila analiza calitativa a fenomenului studiat. In acest sens se mentioneaza ca este preferabil sa se aleaga acel numar de termeni ai seriei dinamice care corespund unor perioade de schimbari reale in evolutia fenomenului respectiv.

Ajustarea cu ajutorul sporului (scaderii) mediu

Procedeul sporului mediu se aplica cu suficienta incredere pentru ajustarea unei serii dinamice, atunci cand modificarile absolute calculate cu baza in lant din indicatorii de nivel initiali, sunt apropiate ca marime intre ele. Daca este indeplinita aceasta conditie, ajustarea se realizeaza cu ajutorul urmatoarei relatii:

, in care,

reprezinta valoarea ajustata, care inlocueste termenul real

este unul din indicatorii reali, ales ca baza de ajustare, . Nivelul baza de ajustare se alege in urma unei ajustari grafice astfel: nivelul real care se apropie cel mai mult de o linie conventionala considerata ca exprima in mod satisfacator evolutia fenomenului se alege ca nivel baza de ajustare.

este sporul sau diminarea medie absoluta

Ajustarea cu ajutorul indicelui mediu de crestere (scadere)

Aceasta metodologie de ajustare are ca suport aproximarea indicatorilor unei serii dinamice pe baza relatiei existente intre primul nivel al seriei (), indicele mediu de crestere sau scadere si nivelul final al seriei dinamice ().

Ajustarea cu ajutorul indicelui mediu de crestere (scadere) este recomandata atunci cand indicii de crestere (scadere) calculati cu baza in lant au valori apropiate ca marime intre ei.

In aceste conditii relatia pentru ajustare este,

, in care,

este indicele mediu calculat cu media geometrica

C) Metode de ajustare analitica

Pentru a caracteriza evolutia si tendinta fenomenelor cu ajutorul metodelor analitice se folosesc serii dinamice de date statistice referitoare la perioade reprezentative de timp. Daca este necesar, indicatorii analizati sunt supusi unor prelucrari preliminare pentru a asigura comparabilitatea acestora in timp prin operarea acelor corectii care au in vedere, de exemplu, nivelul indicelui inflatiei, respectiv transformarea indicatorilor din marimi nominale sau curente in marimi reale prin raportarea nivelului nominal la indicele inflatiei sau, pentru a corecta indicatorii inregistrati pe segmente de timp prin prisma numarului de zile aferente pentru a se referi la durate perfect comparabile etc..

De asemenea, comparabilitatea indicatorilor prezentati in serie dinamica se asigura prin folosirea aceleiasi metodologii de calcul, exprima fenomene cu acelasi continut, definite in acelasi mod si se refera la structuri organizatorice similare.

Daca ne referim la evolutia unui indicator economico-financiar acesta are mai multe componente care isi pun amprenta pe marimea nivelurilor individuale, si anume:

- o componenta are un continut esential, marcheaza tendinta obiectiva sau evolutia generala datorata cresterii sau regresului economic inregistrat in plan economic pe termen lung,

- o componenta exprima modificarea ciclica, conjuncturala, sesizabila pe perioade mari de timp (5, 10, 15 sau 20 de ani), determinata de factori care acumuleaza periodic efecte ale contradictiilor obiective ce au loc in activitatea economico-sociala si politica,

-o componenta este reprezentata de manifestarea cu caracter sezonier, lunara sau trimestriala,

- o componenta se refera la variatiile cu caracter intamplator, neesentiale (variatia reziduala sau termenul de eroare).

Toate activitatile si subactivitatile economice sunt influentate, intr-o masura mai mare sau mai mica, de factori naturali, de factori economici constanti sau cu caracter conjunctural, precum si de factori dirijati prin decizii legislative, care pot determina in consecinta oscilatii ale marimii indicatorilor economici si financiari.

Succesiunea anotimpurilor exercita in mod evident o anumita influenta asupra unor activitati economice (transport, agricultura, unele ramuri industriale, turism) printr-o oferta diferita de produse sau printr-o solicitare sezoniera diferentiata din partea beneficiarilor de produse si servicii. In general, fiecare an calendaristic se constituie ca un ciclu economic prezentand aceleasi regularitati sezoniere de crestere si de reducere a activitatii, dar pe fondul unei evolutii si tendinte medii a volumului de activitate.

Metodele analitice de ajustare constau in inlocuirea nivelurilor reale ale seriei dinamice cu niveluri calculate (teoretice) pe baza unei ecuatii de tendinta, ai carei parametrii sunt estimati, de regula, prin metoda celor mai mici patrate.

Alegerea ecuatiei de tendinta, care sa corespunda cat mai bine formei reale a evolutiei fenomenului se face pe baza analizei atente a reprezentarii grafice a indicatorilor de nivel initiali sau prin calculul unor indicatori derivati care caracterizeaza seria dinamica, astfel:

- daca modificarile absolute calculate cu baza in lant sunt apropiate ca marime , tendinta poate fi sintetizata prin ecuatia liniei drepte, , in care "t" este variabila timp pentru care se acorda valori conventionale, iar "a" si "b" sunt parametrii ecuatiei care o localizeaza in plan;

- daca diferentele de ordinul n, n>1, calculate pe baza indicatorilor de nivel, sunt apropiate ca marime intre ele, ecuatia de tendinta poate fi o parabola de gradul n, adica: ;

- daca indicii de dinamica calculati cu baza in lant au valori apropiate intre ele, se poate considera ca evolutia fenomenului respectiv urmeaza o curba de tipul functiei exponentiale, ;

- daca modificarile absolute calculate cu baza in lant, folosind logaritmii indicatorilor de nivel reali, sunt aproximativ egale intre ele, atunci ajustarea seriei dinamice se poate face cu ajutorul urmatoarei ecuatii: ;

- daca indicii de dinamica calculati cu baza in lant din logaritmii indicatorilor de nivel reali, sunt de marimi apropiate intre ele, ajustarea poate fi efectuata pe baza ecuatiei:

Reprezentarea grafica a seriei dinamice ofera, de asemenea, solutii utile pentru alegea formei ecuatiei de tendinta.

Exemplul 9

Pentru exemplificarea metodelor analitice de analiza a evolutiei, sezonalitatii si tendintei cifrei de afaceri pe care a inregistrat-o un agent economic, s-a constituit o serie dinamica cu niveluri trimestriale pe o perioada de trei ani, iar in final pe baza analizei propuse ne propunem sa calculam estimatia cifrei de afaceri, pe trimestre, in anul 4.

Tabelul 11

Nota: Seria dinamica a cifrei de afaceri ajustata cu ajutorul ecuatiei de tendinta liniara este prezentata in coloana, "Tendinta liniara".

Notatiile folosite in tabel au urmatoarele semnificatii:

T = tendinta ; S = sezonalitatea ; R = termenul rezidual (termenul de eroare)

Fig. 2

Relatiile de calcul pentru diferitele componente ce determina o anumita marime a indicatorilor de nivel initiali sunt evidentiate in doua variante:

- prin procedeul multiplicativ :

- prin procedeul aditiv :

Tendinta generala a cifrei de afaceri este estimata cu ajutorul ecuatiei de regresie liniara, deoarece reprezentarea grafica (Fig. 1) sugereaza o forma liniara a evolutiei cifrei de afaceri, in perioda celor trei ani supusi analizei, .

Calculul parametrilor din ecuatia de tendinta aleasa este realizat prin aplicarea metodei celor mai mici patrate care conduce la urmatorul sistem de ecuatii:

Rezolvarea sistemului de ecuatii a permis definirea ecuatiei de tendinta in forma: y = 2, 954545 + 0, 968531 t

Nota: Variabila timp este reprezentata prin notatia "t", pentru care se acorda valori conventionale.

Daca se considera necesar, in vederea simplificarii calculelor implicate cu estimarea parametrilor ecuatiei de tendinta se poate adopta, pentru evaluarea variabilei timp, un sistem care sa indeplineasca doua conditii, asfel:

- suma valorilor acordate lui t la puteri impare sa fie nula,

- diferenta dintre oricare doua valori succesive ale lui t sa fie constanta.

Mediile trimestriale ale componentelor cumulate de sezonalitate si eroare:

a) Medii trimestriale individuale:

b) Media trimestriala generala:

Coeficientii medii de sezonalitate trimestriala aferenti perioadei anilor 1-3:

;

Nota: Coeficientii medii de sezonalitate trimestriala (Cs_i), fiind calculati ca raport intre marimi medii, exprima o tendinta centrala si nu sunt afectati de termenul de eroare.

Structura spectrala a evolutiei cifrei de afaceri (procedeul aditiv)

Prognoza:

Anul 4 : 1 = 7, 10615 = (2,954545 + 0,968531 * 13) * 0,457121

Anul 4 : 2 = 20, 08539 = (2,954545 + 0,968531 * 14) * 1,216266

Anul 4 : 3 = 32, 55934 = (2,954545 + 0,968531 * 15) * 1,862395

Anul 4 : 4 = 8, 56529 = (2,954545 + 0,968531 * 16) * 0,464217

Aceasta analiza semnalizeaza managerilor cand este necesar sa se aplice masuri prin care:

- sa se asigure capacitatea necesara pentru acoperirea cererii de produse (servicii) din trimestrele II si III cand sezonalitatea este supraunitara,

- sa se asigure executarea lucrarilor de raparatii la mijloacele fixe cu prioritate in trimestrele cu activitate redusa,

- sa se realizeze aprovizionarea cu resursele necesare in mod diferentiat in functie de marimea solicitarii trimestriale,

- sa se programeze in mod judicios concediile de odihna,

- sa se asigure o plasare profitabila a lichiditatilor,

- sa se adopte cea mai buna politica pentru contractarea creditelor curente (de trezorerie),

- sa se asigure personalul necesar pentru realizarea volumului de activitate previzibil, care va fi solicitat pe trimestre.

Prognoza volumului de activitate poate fi completata cu o estimare a structurii cifrei de afaceri pe subactivitati pe baza metodei lanturilor Markov.

Nota: Din punct de vedere metodologic, analiza prezentata poate fi considerata ca model si pentru alte activitati cu o desfasurare sezoniera cum ar fi productia de conserve din fructe sau produse agricole, productia si comercializarea de bere, productia de zahar etc.