CRITERII DE OPTIMALITATE IN TEORIA DECIZIILOR

CRITERII DE OPTIMALITATE IN TEORIA DECIZIILOR

In acest moment se cunosc foarte multe tehnici prin care se pot realiza rezolvarea unei

probleme de optimizare (cu sau fara restrictii, dinamica sau de tip minmax). Problema este stabilirea efectiva a functiei de eficienta in diferite situatii: exista unul sau mai multi decidenti, exista posibilitatea cooperarii, corealizarii sau interesele decidentilor sunt diferite, se pot cuantifica corect multimea de decizie pentru fiecare decident, se pot stabili parametrii corectori, se pot evalua corect castigurile informationale etc.

Criteriile de optimalitate in teoria deciziilor sunt impartite in trei categorii, in functie de conditiile in care este creat modelul de lucru.

Conditii deterministe

Se considera a fi acela in care o actiune conduce la un singur rezultat. Din punct de vedere matematic aceasta inseamna ca se lucreaza doar in functii univoce adica acele functii care asociaza unei valori din domeniu o singura valoare din codomeniu. Practic acest caz se incadreaza in conditiile obisnuite ale teoriei optimizarii (optimizare liniara, optimizare neliniara, optimizare dinamica etc).

1.2. Conditii de nedeterminare

Presupunem ca avem un proces decizional cu cel putin doi decidenti pentru care notam cu f functia de eficienta. Din motive legate de comoditatea calculelor vom presupune ca exista doar doi decidenti pentru care vom nota cu multimile de decizie si cu care in mod uzual se poate scrie sub forma si care se numeste matricea platilor.

Din punct de vedere economic semnificatia multimilor X si Y este diversa. Cazul cel mai comod este acela in care avem un proiect investitional de cost dat si exista mai multe posibilitati de realizare al acestuia; aceste posibilitati fiind cuantificate prin elementele x₁, x₂,.,x_m ale multimii X.

Pentru a nu risca situatiile in care angajamentele ocazionate de realizarea proiectului sa nu fie acoperite, este necesar ca incasarile sau profiturile obtinute sa fie asigurate. Exista in total n posibilitati de asigurare, practic acest lucru fiind reflectat de elementele multimii Y.

Din considerente practice ultima varianta, desemnata prin elementele multimii Y semnifica faptul ca profitul nu este asigurat. In acest caz f reprezinta functia de profit, iar B_ij reprezinta profitul adus prin realizarea proiectului in varianta x_i si in baza asigurarii y_j. Din motive de comoditate ale notatiilor, perechea (x_i, y_j) se noteaza simplu (i,j).

Conditiile nedeterministe se exprima prin faptul ca primul decident nu are informatii suficiente asupra multimii de decizie Y ale celui de-al doilea decident. Aceasta inseamna ca nu se poate formula corect problema prin urmare trebuie cautate criteriile speciale de comportament strategic.

1.2.1. Criteriul optimist (Hurcwitz)

Acest criteriu presupune alegerea acelei perechi de strategii (x_i0, y_j0), practic a perechii (i₀,j₀) pentru care se realizeaza egalitatea urmatoare:

In aceasta situatie p reprezinta gradul de optimism al primului decident legat de alegerea celei mai avantajoase situatii.

Observatia 1.5. Utilizarea acestui criteriu este extrem de comoda deoarece presupune un calcul imediat pornind de la matricea profiturilor dar nu conduce la rezultate concludente intru-cat alegerea parametrului p este in general subiectiva.

Observatia 1.6. Marimea p are semnificatia unei ponderi si din acest motiv se impune conditia .

1.2.2. Criteriul pesimist (Wald)

Potrivit acestui criteriu valoarea optima este aceea pentru care se realizeaza egalitatea

Din punct de vedere economic profitul optim in raport cu acest criteriu semnifica cel mai mare profit pe care il poate realiza primul decident indiferent de comportamentul strategic al celui de-al doilea.

In cazul exemplului legat de proiectul investitional reprezinta profitul cel mai bun la care se poate astepta investitorul indiferent de varianta de asigurare adoptata.

Observatia 1.7.  Acest criteriu a fost preluat in teoria jocurilor, dezvoltata de Neumann, iar marimea reprezinta castigul maxim garantat.

1.2.3. Criteriul Neumann

Potrivit acestui criteriu strategia optima este acea pereche (i₀,j₀) pentru care profitul optim este dat de egalitatea urmatoare: 

Din punct de vedere economic profitul reprezinta pierderea maxima pe care o poate realiza decidentul al doilea.

Observatia 1.8. Se poate arata relativ usor urmatoarea inegalitate

.

1.2.4. Criteriul (principiul) stabilitatii

Este un criteriu introdus de Neumann in baza caruia perechea (i₀,j₀) trebuie cautata pornind de la egalitatea urmatoare:

.

O astfel de pereche optima se numeste punct de echilibru si se caracterizeaza in general printr-un comportament strategic prudent.

Determinarea perechii (i₀,j₀) pentru care se realizeaza egalitatea precedenta este o problema, in general, dificila si se rezolva printr-o tehnica speciala de optimizare, optimizare minmax.

Criteriul stabilitatii in strategii simple. Practic suntem condusi la rezolvarea problemei de optimizare:

(P)

care, in contextul analizat devine:

Se poate arata ca solutia a problemei (P) verifica conditiile:

ceea ce din punct de vedere a deciziilor inseamna ca orice abatere a decidentilor de la alegerea strategiei echilibru va conduce la micsorarea castigurilor acestora.

Rezolvarea problemei (P) este in general dificila. De asemenea trebuie precizat ca nu totdeauna aceasta problema are solutii. Atunci cand existenta solutiilor este asigurata, metodele uzuale folosite pentru determinarea punctelor echilibru sunt urmatoarele: metoda multiplicatorilor lui Lagrange, metoda penalizarii, metoda gradientului etc.

Criteriul stabilitatii in strategii mixte.  Se porneste de la acceptiunea ca in general o matrice a castigurilor (profiturilor) nu contine puncte de echilibru. Altfel spus egalitatea nu are intotdeauna solutie. In consecinta functia de eficienta f a fost modificata corespunzator, multimile de strategii au fost si ele modificate astfel incat in noile conditii sa se poata determina intotdeauna punctele de echilibru.

Asociem multimilor de strategii X, Y asa numitele multimi de strategii mixte P, Q unde P reprezinta multimea tuturor repartitiilor de probabilitate

iar Q reprezinta multimea tuturor repartitiilor de probabilitate

Semnificatia componentelor p_i si q_j a strategiilor mixte p, respectiv q este urmatoarea:

. componenta p_i a strategiei mixte P semnifica faptul ca primul decident adopta strategia x_i cu probabilitatea p_i,  .

. componenta q_j a strategiei mixte Q semnifica faptul ca cel de-al doilea decident adopta strategia y_j cu probabilitatea q_j, .

Se introduce o noua functie de eficienta F, definita prin egalitatea:

Aceasta functie de eficienta semnifica profitul mediu obtinut de cei doi decidenti (deoarece este de fapt valoarea medie a unei variabile aleatoare). Pentru noua functie de eficienta F se poate arata ca totdeauna exista puncte de echilibru in strategii mixte.

Teorema 1.1. Au loc urmatoarele rezultate:

a) exista totdeauna un punct de echilibru   unde

componentele acestor strategii fiind date de egalitatile urmatoare:

unde: sunt solutiile optime ale urmatorului cuplu dual de probleme de optimizare liniara:

Valoarea functiei de eficienta pentru punctul echilibru gasit este urmatoarea: .

1.2.5. Criteriul regretului minim (Savage)

Are la baza analiza efectelor alegerii unei variante proaste in raport cu o varianta buna. Potrivit acestui criteriu perechea optima cautata (i₀,j₀) este aceea pentru care se realizeaza egalitatea urmatoare:

Semnificatia marimilor care intervin in aceasta egalitate este:

1) reprezinta pierderea maxima datorata alegerii variantei proaste j;

2) reprezinta maximul tuturor pierderilor prin analiza tuturor variantelor;

3) reprezinta pierderea minima realizata.

Altfel spus, daca presupunem ca s-a ales varianta proasta j, atunci maximul de pierdere in raport cu acesta este dat de 1). Analizand insa toate variantele, pierderea maxima este data de 2). Primul decident va adopta aceea decizie i₀ care realizeaza suma tuturor pierderilor minime.

1.3. Conditii de incertitudine

Corespunde situatiei in care y este o variabila aleatoare pentru care se cunoaste exact functia de repartitie sau functia de repartitie poate fi bine aproximata.

Asociem multimii o repartitie de probabilitati , .

Semnificatia marimilor p₁,p₂,.,p_n este legata de ponderile alocate elementelor multimii de decizie pentru primul decident.

1.3.1. Criteriul verosimilitatii maxime (credibilitate)

Potrivit acestui criteriu decizia optima consta in alegerea acelei perechi (i₀,j₀) pentru care se realizeaza urmatoarea egalitate:

1.3.2. Criteriul profitului mediu (Bayes)

Are la baza ideea utilizarii notiunii de valoare medie. Potrivit acestui criteriu se va alege varianta optima j₀ care maximizeaza profiturile medii.

Vom nota cu P_j  profitul mediu pentru varianta j,

Solutia optima cautata este j₀ pentru care .

In situatia in care ponderile nu sunt cunoscute, acest criteriu permite determinarea optimala a lor din conditiile . Aceste conditii impreuna cu conditia conduce la un sistem liniar de n ecuatii cu n necunoscute.

1.3.3. Criterii entropice

Sunt cunoscute trei criterii distincte:

. criteriul informatiei maxime simple ;

. criteriul informatiei maxime ponderate;

. criteriul informatiei maxime si a valorii medii (in sensul de suma dintre entropie si valoarea medie).

1.3.3.1. Criteriul informatiei maxime simple

Practic se pune problema determinarii acelei repartitii de probabilitati (ponderile profiturilor) pentru care se maximizeaza entropia. In mod obisnuit restrictiile problemei sunt legate de cunoasterea in prealabil a unor indicatori statici, in mod uzual sau media si abaterea medie patratica. In situatia in care se cunosc valorile medii:

(1.8)

suntem condusi la rezolvarea urmatoarei probleme de optimizare liniara:

In mod obisnuit aceasta problema se rezolva utilizand metoda multiplicatorului lui Lagrange. Solutia acestei probleme este urmatoarea:

unde: ;

b reprezinta solutia unica a urmatoarei ecuatii:

(1.9)

Observatia 1.9. Membrul drept al egalitatii (1.9) este de fapt un profit mediu ponderat, ceea ce  inseamna ca valoarea medie m_j are o semnificatie economica bine precizata.

1.3.3.2. Criteriul informatiei maxime ponderate

In aceasta situatie functia de eficienta se considera a fi entropia lui Guiasu: 

Ne intereseaza acea repartitie de probabilitate care maximizeaza entropia, deci suntem condusi la rezolvarea urmatoarei probleme:

Solutia acestei probleme se poate determina utilizand metoda multiplicatorului lui Lagrange, fie utilizand un artificiu si cateva rezultate importante din calculul diferential. In final se obtine:

unde a reprezinta solutia unica a ecuatiei

Observatia 1.10. Din punct de vedere economic conditia este cunoscuta sub denumirea de conditie exclusivista, fiind de fapt echivalentul matematic al conditiei de independenta probabilista.

1.3.3.3.Criteriul maximizarii informatiei si a valorii medii

Practic suntem condusi la rezolvarea urmatoarei probleme :

Tinand seama de conditia de exclusivitate si de conditia de nenegativitate dupa aplicarea metodei multiplicatorului lui Lagrange obtinem imediat solutia cautata:

Observatia 1.11. In cazul in care ne situam in varianta maximizarii unei variabile aleatoare continue pentru care se cunoaste valoarea medie m si abaterea medie patratica s, aplicand principiul informatiei maxime simple, rezulta dupa un calcul relativ comod ca distributia optima care maximizeaza informatia este de tip normal cu parametrii m si s adica de tipul N(m, s