CATEGORII DOCUMENTE |
Agricultura | Asigurari | Comert | Confectii | Contabilitate | Contracte | Economie |
Transporturi | Turism | Zootehnie |
METODE DE OPTIMIZARE A FUNCTIILOR DE O VARIABILA
1. Introducere. Conditii de optimalitate
Definitia 1. Fie F o functie continua si diferentiabila
in variabila scalara x si,
pentru au loc relatiile,
(1) si
.
Atunci
functia F are ca minim local punctul
.
Definitia 2 Fie F o functie continua si diferentiabila in
variabila scalara x. Daca
relatiile (1) au loc pentru si daca
pentru orice x, atunci
este punct de minim global al lui F.
Relatiile (1) sunt numite conditii de optimalitate. In problemele de interes practic, determinarea unui minim global este in general foarte dificila; in majoritatea situatiilor este aplicata o procedura de determinare a unui set de puncte minim local.
Abordarea
analitica in rezolvarea problemelor de minimizare este utila cand
forma F' poate fi calculata usor si, de asemenea, cand problema poate fi rezolvata intr-o maniera relativ
simpla. In multe situatii practice, spre exemplu in problema RANDAMENTMAX1M,
problema de optim nu poate fi tratata de maniera prezentata mai sus.
In general, tehnicile de rezolvare a problemelor de optim sunt iterative
si sunt
tehnici de cautare directa, care utilizeaza comparatii ale valorilor functiei de optimizat in puncte de test, sau
metode gradient, care utilizeaza derivatele functiei obiectiv
si rezolva iterativ ecuatia neliniara
Metodele de tip gradient au in general o convergenta mai rapida comparativ cu metodele de cautare directa. De asemenea, metodele gradient au avantajul ca permit definirea unui test de convergenta evident, si anume algoritmul este incheiat cand gradientul este apropiat de 0, dar nu pot fi aplicate in orice situatie (de exemplu cand F(x) are derivate discontinue, cum este cazul functiilor liniare pe portiuni).
2. Metoda bisectiei
Metoda bisectiei pentru determinarea
minimului lui F(x) pe intervalul este descrisa
astfel. (Bartholomeu-Biggs, 2005)
Seteaza ,
Calculeaza
Repeat
,
Calculeaza
,
Calculeaza
If
sau
, seteaza
,
Else
If seteaza
,
Else If sau
seteaza
,
Until
Procedura urmatoare este aplicata
pentru calculul unui interval care sa contina
un punct de minim al functiei F.
Este selectat un punct initial si un pas
Repeat for k=0,1,2,.
Unitl
If k=0,
If k>0,
3. Metoda secantei
Este prezentata in continuare o metoda
iterativa pentru rezolvarea . Aceasta
metoda permite in continuare calculul unui minim local al lui
pentru a fi utilizat
intr-o regiune in care
este pozitiva.
Abordarea are la baza interpolarea liniara. Daca F' este evaluat in punctele
, atunci
(2)
este o estimatie a punctului in care F se anuleaza.
In situatia in care F este functie polinomiala de gradul 2 (patratica), relatia (2) este aplicata o singura data pentru calculul exact al punctului in care F' se anuleaza. In caz contrar, formula de interpolare (2) este aplicata iterativ. Algoritmul este descris astfel. (Bartholomeu-Biggs, 2005)
Selecteaza estimari
initiale ale minimului functiei F(x) si
Repeat for k=0,1,2,
Unitl
4. Metoda Newton
Metoda determina minimul functiei F(x)
prin utilizarea primelor doua derivate ale functiei F. Algoritmul
este derivat prin dezvoltarea lui F(x) in serie Taylor in jurul unui punct ,
(3)
Prin derivarea (3) in raport cu h este obtinuta seria Taylor pentru F (x)
Daca
presupunem ca valoarea lui h este suficient de mica pentru ca
termenul din (4) sa poata
fi neglijat, atunci pasul
determina
.
Algoritmul pentru implementarea metodei Newton este descris astfel. (Bartholomeu-Biggs, 2005)
Selecteaza estimare
initiala a minimului functiei F(x) si
Repeat for k=0,1,2,
Unitl
Rezolvarea problemei RANDAMENTMAX1M pentru portofolii cu 2 actiuni prin metodele bisectiei, secantei si Newton
In sectiunea aceasta sectiune vom exemplifica aplicarea metodelor descrise in 2, 3 si 4 pe problema RANDAMENTMAX1M in urmatorul caz particular.
Exemplul 1. STUDIU DE CAZ
In tabelul 1 este prezentat istoricul randamentelor corespunzatoare actiunilor A1 si A2 pe primele 6 luni ale anului.
Ianuarie |
Februarie |
Martie |
Aprilie |
Mai |
Iunie |
|
A1 | ||||||
A2 |
Tabelul 1
Problema RANDAMENTMAX1M este descrisa prin
Minimizeaza
cu restrictia
In sitatia din tabelul 1, rezulta
Minimizeaza , unde
Pentru
stabilirea unei valori acceptabile a riscului, , rezolvam problema primara RISCMIN0, cu
obtinerea valorii riscului minim,
.
Procedura RISCMIN0 este echivalenta cu,
Minimizeaza
Functia obiectiv este,
Obtinem,
,
si
Deoarece
pentru relatiile (1)
sunt indeplinite, rezulta ca functia V are un minim local (deoarece
V este patratica,
este minimul global),
. Valoarea acceptabila a riscului poate fi
considerata
. Vom considera in continuare
.
Pentru rezolvarea problemei RANDAMENTMAX1M, functia de minimizat este,
, unde
Consideram
in continuare ca parametrul care semnifica relatia randament risc este 1 ().
2
Obtinem,
In continuare prezentam sursa C pentru minimizarea lui F prin metoda bisectiei, insotita de procedura de determinare a intervalului in care se gaseste minimul, asa cum au fost prezentate in sectiunea 2.
#include <stdio.h>
#include<math.h>
float f(float);
void genereaza(float (*)(float),float,float,float *,float *);
float bisectiemin(float,float,float, float (*)(float), float *);
void main()
float f(float x)
void genereaza(float (*f)(float),float x,float alpha,float *a,float *b)
*a=x0;*b=x2;
float bisectiemin(float x0,float x1,float eps, float (* f)(float), float *x2)
float minim=Fa;
for(int i=1;i<5;i++)
if(minim>ff[i])minim=ff[i];
if((minim==Fa)||(minim==Fl))
else if(minim==Fm)
else if((minim==Fr)||(minim==Fb))
if(fabs(xa-xb)<eps)
return (*f)(*x2);
Au
fost folosite constantele: (punctul de la care se pleaca in determinarea
intervalului, F'(0)<0),
,
.
Solutia
optima obtinuta este , valoarea minima a functiei obiectiv
. Interpretarea datelor este urmatoarea.
Randamentul asteptat, in procente, este
Riscul
este
Prin utilizarea metodelor secantei si Newton sunt obtinute rezultate similare metodei bisectiei.
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 1322
Importanta:
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2025 . All rights reserved