Elemente de algebra booleana - Axiomele si teoremele algebrei booleene - Algebra circuitelor de comutatie

1. Axiomele si teoremele algebrei booleene

Analiza si sinteza circuitelor de comutatie se face cu ajutorul algebrei booleene.

Se considera o multime B, cu cel putin doua elemente distincte, în care se definesc doua operatii binare, operatia SAU (pentru care se foloseste operatorul “+”) si operatia SI (pentru care se foloseste operatorul “.”), precum si o relatie de echivalenta între elementele multimii B, pentru care se foloseste simbolul “=”.

În multimea B exista doua constante caracteristice, constanta 0 si constanta 1.

Multimea B considerata mai sus este o algebra booleana daca sunt satisfacute urmatoarele axiome:

A.1. Operatiile SAU, respectiv SI, sunt asociative. Pentru orice

(2.1)

A.2. Operatiile SAU, respectiv SI, sunt comutative. Pentru

(2.2)

A.3. Exista în multimea B doua elemente 0 si 1 cu efect nul fata de cele doua operatii. Astfel pentru

(2.3)

A.4. Operatiile SAU, respectiv SI, sunt distributive una fata de alta. Pentru

(2.4)

A.5. Fiecare element a din multimea B are un complement în B, notat , astfel încât:

(2.5)

Pe baza axiomelor de mai sus se pot demonstra o serie de teoreme dintre care cele mai importante vor fi prezentate în continuare.

Teorema 1. Idempotenta elementelor multimii B pentru operatiile SAU respectiv SI.

(2.6)

Teorema 2. Teorema elementelor absorbante pentru operatiile SAU respectiv SI.

(2.7)

Teorema 3. Legile absorbtiei.

Teorema 4. Unicitatea complementului: orice element are un singur complement in B.

Teorema 5. Legea dublei complementari.

Teorema 6. Legile lui De Morgan.

(2.8)

2. Algebra circuitelor de comutatie

În studiul circuitelor de comutare se utilizeaza o algebra booleana în care multimea B considerata are numai doua elemente, 0 si 1, corespunzatoare celor doua stari stabile ale circuitelor de comutare. Operatia SAU este definita în tabelul 2.1, operatia SI în tabelul 2.2, iar complementarea în tabelul 2.3.

Tabelul 2.1           Tabelul 2.2 Tabelul 2.3

Aceasta algebra booleana numita si algebra comutatiei este identica cu algebra booleana folosita în logica în care însa cele doua elemente ale multimii B sunt constantele logice “adevarat” si “fals”. Din acest motiv algebra comutatiei este denumita frecvent algebra logicii, operatia SAU este numita si suma logica, operatia SI este numita si produs logic, iar complementarea este denumita negatie. De asemenea circuitele de comutatie se mai numesc si circuite logice, iar functiile de transfer ale acestora se numesc functii logice.