Scrigroup - Documente si articole

     

 
HomeDocumenteUploadResurseAlte limbi doc
 
AstronomieBiofizicaBiologieBotanicaCartiChimieCopii
Educatie civicaFabule ghicitoriFizicaGramaticaJocLiteratura romanaLogica
MatematicaPoeziiPsihologie psihiatrieSociologie


Spatii vectoriale euclidiene

Matematica



+ Font mai mare | - Font mai mic



Spatii vectoriale euclidiene

Fie V un spatiu vectorial real.

Daca adaugam, pe langa structura de spatiu vectorial, notiunea de produs scalar, atunci intr-un astfel de spatiu vectorial pot fi definite notiunile de lungime a unui vector, unghiul a doi vectori, ortogonalitate s.a.



Definitie.

O aplicatie g: V V R cu proprietatile:

 

a)

x, y, z I V

x, y I V, l I R

x, y I V

x I V

se numeste produs scalar pe spatiul vectorial V.

Corolar

Daca V este un spatiu vectorial euclidian atunci au loc relatiile:

1) <x + y, z> = <x, z> + <y, z>

2) <x, ly> = l <x, y>,    x, y, z I V l I R

Definitie.

Un spatiu vectorial V pe care s-a definit un produs scalar se numeste spatiu vectorial euclidian (sau V poseda o structura euclidiana).

Teorema.

Daca spatiul vectorial V este un spatiu vectorial euclidian atunci avem inegalitatea Cauchy-Schwarz:

<x, y>2 <x, x> <y, y>

egalitatea avand loc daca si numai daca vectorii x si y sunt liniar dependenti.

Exemple

1 In spatiul aritmetic Rn pentru orice doua elemente x=(x1,x2,,xn) si y = (y1, y2,, yn), operatia

<x, y> =: x1y1 + x2y2 ++ xnyn

defineste un produs scalar. Produsul scalar astfel definit, numit produsul scalr uzual ,inzestreaza spatiul aritmetic Rn cu o strcutura euclidiana.

Multimea C([a, b]) a functiilor continue pe intervalul [a, b] este un spatiu vectorial in raport cu produsul scalar definit de

Teorema.

Intr-un spatiu vectorial euclidian V functia || ||: V R+ definita prin

este o norma pe V, adica satisface axiomele:

a) || x || > 0, x 0 si || x || = 0 x =

b) || l l || x ||, x I V, l I R

c) ||x+ y|| ||x|| + ||y|| (inegalitatea triunghiului).

Un spatiu pe care s-a definit o functie "norma" se numeste spatiu normat.

Norma definita de un produs scalar se numeste norma euclidiana.

Exemplu: In spatiul aritmetic Rn norma unui vector x = (x1, x2,.xn) este data de

Un vector e I V se numeste versor daca ||e|| = 1. Notiunea de versor permite ca x I V sa fie scris sub forma , unde directia lui e este aceeasi cu directia lui x.

Inegalitatea Cauchy-Schwarz, |<x, y>| ||x|| ||y|| ne permite sa definim unghiul dintre doi vectori, ca fiind unghiul q I p], dat de

Teorema.

In spatiul vectorial normat V, functia reala d: V V R+, definita prin d(x, y) = || x - y || este o metrica pe V, adica satisface axiomele:

a)     d(x, y) 0, d(x, y) = 0 x = y , x, y I V

b)     d(x, y) = d(y, x) ,    x, y I V

c) d(x, y) d(x, z) + d(z, x) , x, y, z I V.

Exemplu: In spatiul vectorial aritmetic Rn distanta d este data de

O multime oarecare dotata cu o metrica se numeste spatiu metric.

Daca norma definita pe spatiul vectorial V este euclidiana atunci distanta definita de aceasta se numeste metrica euclidiana.

In concluzie, orice spatiu euclidian este un spatiu metric.

O structura euclidiana pe V induce pe orice subspatiu V' V o structura euclidiana.

Produsul scalar definit pe un spatiu vectorial V permite introducerea notiunii de ortogonalitate.

Definitie

In spatiul vectorial V vectorii x, y I V se numesc ortogonali daca < x, y > = .

O multime S V se spune ca este ortogonala daca vectorii sai sunt ortogonali doi cate doi.

O multime ortogonala se numeste ortonormata daca fiecare element al sau are norma egala cu unitatea.

Propozitie.

Intr-un spatiu vectorial euclidian V orice multime ortogonala, formata din elemente nenule, este liniar independenta.

Consecinta.

Intr-un spatiu vectorial euclidian n-dimensional Vn, orice multime ortogonala formata din n vectori este o baza in Vn.

Daca in spatiul vectorial euclidian Vn consideram baza ortogonala B atunci orice vector x I Vn poate fi scris in mod unic sub forma

, unde (4.8)

In adevar, inmultiind vectorul cu ek, obtinem <x, ek> = din care rezulta , .

Daca B este ortonormata avem , iar li = <x, ei> si vor fi numite coordonatele euclidiene ale vectorului x.

Definitie.

Fie x, y I V, doi vectori oarecare.

Vectorul , cu y 0 se numeste proiectie ortogonala a vectorului x pe vectorul y, iar numarul pryx = se numeste marimea algebrica a proiectiei ortogonale a lui x pe y .

Definitie.

Fie S V o submultime oarecare a spatiului euclidian V. Un element y I V se zice ortogonal lui S daca este ortogonal pe fiecare element al lui S, adica <y, x> = 0, x I S si notam prin y S.

Propozitie.

Multimea tuturor vectorilor y I V ortogonali multimii S formeaza un subspatiu vectorial notat cu S . In plus, daca S este un subspatiu vectorial atunci subspatiul S se numeste complementul ortogonal al lui S.

Propozitie.

Daca subspatiul S V este de dimensiune finita, atunci S admite un unic supliment ortogonal S

Consecinta.

Daca V = S S si x = y + y , y I S, y I S , atunci are loc teorema lui Pitagora, || x ||2 = || y ||2 + || y

Observatie. Un subspatiu vectorial S V, de dimensiune finita sau nu, are cel mult un supliment ortogonal.

Fie Vn un spatiu vectorial euclidian finit dimensional.

Teorema.

(Gram - Schmidt) Daca este o baza in spatiul vectorial euclidian Vn atunci exista o baza ortonormata V astfel incat sistemele de vectori si genereaza acelasi subspatiu Up V, pentru

Consecinta.

Orice subspatiu vectorial euclidian admite o baza ortonormata

Fie B = si B = doua baze ortonormate in spatiu vectorial euclidian Vn.

Relatiile intre elementele celor doua baze sunt date de

Cum B este ortonormata avem :

Daca A = (aij) este matricea de trecere de la baza B la B atunci relatiile de mai sus se exprima matriceal sub forma tAA = In, adica A este o matrice ortogonala.


Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare



DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 1542
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved