Indicatorii variatiei

Indicatorii variatiei

Indicatorii variatiei au drept scop verificarea omogenitatii, variabilitatii si a gradului de imprastiere a valorilor individuale ale caracteristicii, precum si a reprezentativitatii mediei pentru intreaga colectivitate. Tot cu ajutorul lor se caracterizeaza asimetria repartitiilor si interdependenta dintre factorii de influenta, dupa care se structureaza unitatile unei colectivitati in grupe omogene.

In functie de modul de calcul, indicatorii variatiei pot fi simpli si sintetici, exprimati in marimi absolute, relative si medii.

Indicatorii simpli ai variatiei sunt:

a)      Amplitudinea absoluta, A;

b)      Amplitudinea relativa, A%;

c)      Abaterea individuala absoluta, d_i;

d)      Abaterea individuala relativa, d_i%.

a)      Amplitudinea absoluta, A, se determina dupa formula:

A= x_max - x_min,

iar pentru seriile de repartitie cu frecvente pe intervale, aceasta se calculeaza ca diferenta intre limita superioara a ultimului interval (x_n^sup) si limita inferioara a primului interval de grupare (x₁^inf):

A= x_n^sup -x₁^inf

Amplitudinea se exprima in unitatea de masura a caracteristicii si de aceea, ea nu poate fi utilizata in comparatii, ca masura a variatiei, decat pentru seriile unde caracteristicile sunt exprimate in aceeasi unitate de masura. Pentru a elimina acest inconvenient, se calculeaza amplitudinea relativa a variatiei.

b)      Amplitudinea relativa a variatiei (A%), se calculeaza ca raport intre amplitudinea absoluta (A) si nivelul mediu al caracteristicii:

A%= (A / x ) 100

Rezultatul arata ponderea amplitudinii in valoarea mediei.

c)      Abaterile individuale absolute, d_i, se calculeaza ca diferenta intre fiecare valoare individuala a caracteristicii x_i si nivelul mediu:

d_i= x_i-x =

Rezultatul arata abaterile valorilor individuale de la media lor.

d)      Abaterile individuale relative, d_i%, se determina raportand abaterile individuale absolute, la nivelul mediu:

d_i%=(d_i / x )100

In analiza variatiei se pot determina abaterile individuale minime si maxime, atat in marime absoluta cat si relativa:

d_{i min}= x_min-x; d_{i min}%=(d_{i min} / x )100

d_{i max}= x_max-x; d_{i max}%=(d_{i max} / x )100

In cazul in care repartitia este simetrica: d_max ê êd_min ê

Indicatorii sintetici ai variatiei evidentiaza abaterile tuturor nivelurilor individuale ale caracteristicii de la media lor si a frecventelor de aparitie a acestora.

Indicatorii sintetici ai variatiei sunt

a)      Abaterea medie liniara, d;

b)      Dispersia, s

c)      Abaterea medie patratica, s

d)      Coeficientul de variatie, v.

a)      Abaterea medie liniara d ) se calculeaza ca medie aritmetica simpla sau ponderata a abaterilor individuale de la media lor sau de la mediana lor, astfel:

- pentru o serie simpla

d _x Sêx_i - x ê/n ; d_Me =Sêx_I -M_e ê/n

- pentru o serie de repartitie cu frecvente absolute:

d _x Sêx_i - x êf_i /Sf_i ;    d_Me = Sêx_i -M_e êf_i /Sf_i

- pentru o serie de repartitie cu frecvente relative:

d _x Sêx_i - x êf_i^* )/ Sf_i^* ;    d_Me =(S x_i -M_e f_i^*)/    Sf_i^*

Aceasta se exprima in unitatea de masura a caracteristicii si arata cu cate unitati se abat in medie, unitatile statistice de la nivelul mediu. Calculul abaterii medii, este justificat numai in masura in care prezinta importanta marimea abaterii si nu semnul acesteia.

b)      Dispersia s ) caracterizeaza gradul de concentrare a valorilor individuale. Aceasta se mai numeste varianta si se calculeaza ca medie aritmetica simpla sau ponderata a patratelor abaterilor individuale de la media lor. Astfel:

- pentru o serie simpla:

s S(x_i - x)² /n

- pentru o serie de repartitie cu frecvente absolute:

s S(x_i - x)² f_i /Sf_i

- pentru o serie de repartitie cu frecvente relative:

s S(x_i - x)² f_i^* /100

c). Abaterea medie patratica s), denumita "abatere standard" sau "abatere tip", se calculeaza ca medie patratica simpla sau ponderata, a abaterilor tuturor valorilor individuale de la media lor.

Astfel:

- pentru o serie simpla, formula de calcul este:

- pentru o serie de repartitie cu frecvente absolute:

- pentru o serie de repartitie cu frecvente relative:

Abaterea medie patratica se exprima in unitatea de masura a caracteristicii si este cu atat mai mare cu cat este mai intensa variatia valorilor individuale ale caracteristicii si invers. Rezultatul arata cu cate unitati se abat in medie valorile caracteristicii de la nivelul mediu, tinand cont de influenta abaterilor individuale mari ale caracteristicii

Pentru aceeasi serie, abaterea medie liniara ( d ) este mai mica sau cel mult egala cu abaterea medie patratica (s d £ s

Pentru o serie cu tendinta de normalitate, abaterea medie liniara reprezinta 4/5 din valoarea abaterii mediei patratice: d s

Abaterea medie patratica se utilizeaza atat pentru verificarea omogenitatii valorilor individuale a reprezentativitatii mediei, cat si pentru caracterizarea asimetriei unei serii de repartitie, la estimarea erorilor de selectie. Aceasta se calculeaza in analizele economice si financiare, in studii de marketing, de prognoza.

d). Coeficientul de variatie (v), cunoscut si sub denumirea de coeficient de omogenitate, este indicatorul ce permite compararea gradului de variatie a doua sau mai multe caracteristici de natura diferita, urmarite pentru aceeasi colectivitate.

Coeficientul de variatie se calculeaza in doua moduri:

- ca raport intre abaterea medie liniara ( d ) si media colectivitatii ( x ):

- ca raport intre abaterea medie patratica (s) si nivelul mediu ( x    ):

Coeficientul de variatie ia valori de la 0-100%: 0£v£

Coeficientul de variatie poate fi folosit drept test de semnificatie a reprezentativitatii mediei, considerandu-se urmatoarele praguri de semnificatie:

- 0<v£ media este strict reprezentativa;

- 17%<v£ media este moderat semnificativa;

- 35<v£ media este relativ reprezentativa;

- v> media nu este reprezentativa.

Din punct de vedere al gradului de omogenitate a colectivitatii:

- 0<v£35% - variatie mica, colectivitate omogena, alcatuita din unitati statistice apartinand aceluiasi tip calitativ;

<v£50% -variatie relativ mare;

-v>50% - variatie foarte mare , eterogenitatea colectivitatii, unitatile statistice apartin unor tipuri calitative diferite.

1. Proprietatile dispersiei

Pentru un sir de valori egale intre ele, dispersia este nula, deoarece media lor aritmetica este egala cu fiecare dintre variantele inregistrate.

Daca x₁=x₂=.=x_n=x_c= x    Þ s

In cazul in care se calculeaza dispersia pe baza proprietatilor 4 si 5 ale mediei aritmetice, se obtine formula de calcul simplificat al dispersiei:

- pentru o serie simpla:

- pentru o serie de repartitie cu frecvente absolute:

- pentru o serie de repartitie cu frecvente relative:

unde "a" si " h" sunt valori arbitrare, convenabil stabilite, astfel incat sa permita simplificarea.

3). Dispersie intr-o colectivitate impartita pe grupe

Intr-o colectivitate impartita pe grupe, dispersia colectivitatii totale (s ) este egala cu media dispersiilor de grupe ( s ) plus dispersia dintre grupe (d ), dupa formula:

s s d

Aceasta relatie este cunoscuta sub denumirea de "regula de adunare a dispersiilor" sau "ecuatia fundamentala a analizei dispersionale".

Media dispersiilor de grupe ( s ) se calculeaza ca o medie aritmetica a dispersiilor de grupa s_j ponderate cu volumul grupelor f_j.

j=1,2,.,p - numarul grupei

Dispersia de grupa,s_j , se calculeaza ca o medie a patratelor abaterilor variantelor variabilei din cadrul unei grupe fata de media lor, dupa formula:

-dispersia de grupa: - media unei grupe j:

unde: i=1,2,.k; j=1,2,.p.

Dispersia de grupa, masoara influenta factorilor intamplatori, care au actionat asupra valorilor caracteristicii pentru unitatile statistice dintr-o anumita grupa a colectivitatii.

Dispersia dintre grupe (d ), se calculeaza ca o medie aritmetica a patratelor abaterilor mediilor de grupa x_j fata de media generala a colectivitatii x, dupa formula:

Dispersia dintre grupe masoara influenta factorului de grupare ce a determinat separarea grupelor in cadrul colectivitatii.

Dispersia colectivitatii totale (s_o ), sintetizeaza variatia tuturor valorilor individuale din colectivitatea totala, cauzata atat de influenta factorilor aleatori, ce actioneaza in interiorul grupelor, cat si de influenta factorului sistematic, in functie de care s-a structurat colectivitatea generala, dupa formula:

Pe baza celor trei dispersii se pot construi alti indicatori: gradul de determinatie (R²) si gradul de nedeterminatie (K²), care se calculeaza cu ajutorul urmatoarelor relatii de calcul:

Gradul de determinatie (R²) exprima masura in care variatia caracteristicii urmarite, depinde de factorul principal sistematic dupa care s-a structurat colectivitatea in grupe omogene.

Gradul de nedeterminatie (K²) exprima masura in care variatia caracteristicii depinde de variatia factorilor aleatori, ce actioneaza in interiorul grupelor.

Intre cei doi indicatori exista urmatoarea relatie:

Daca R²>K², inseamna ca factorul principal de grupare actioneaza in mod hotarator asupra variatiei caracteristicii x_i.

Daca R²<K², variatia caracteristicii se datoreaza influentei exercitate de alte cauze, de factori intamplatori.