ROLUL MATEMATICII IN DEZVOLTAREA PERSONALITATII ELEVULUI

ROLUL MATEMATICII IN DEZVOLTAREA PERSONALITATII ELEVULUI

Cuprins

1. Matematica in viata elevului

2. Trasaturile de caracter dezvoltate de matematica

3. De ce invatam cu greu matematica?

4. Matematica pura si aplicata, estetica

5. Limbajul matematic

6. Matematica privita ca stiinta

7. Tipuri de probleme intalnite in matematica distractive

8. Probleme cu caracter practic

Cuvant inainte

Matematica este in general definita ca stiinta ce studiaza modelele de structura, schimbare si spatiu. In sens modern, matematica este investigarea structurilor abstracte definite in mod axiomatic folosind logica formala.

Structurile anume investigate de matematica isi au deseori radacinile in stiintele naturale, cel mai ades in fizica. Matematica defineste si investigheaza si structuri si teorii proprii, in special pentru a sintetiza si unifica multiple campuri matematice sub o teorie unica, o metoda ce faciliteaza in general metode generice de calcul. Ocazional, matematicienii studiaza unele domenii ale matematicii strict pentru interesul abstract exercitat de acestea, ceea ce le transforma intr-o abordare mai degraba legata de arta decat de stiinta.

Din punct de vedere istoric, ramurile majore ale matematicii au derivat din necesitatea de a face calcule comerciale, de a masura terenuri si de a predetermina evenimente astronomice cu scopuri agriculturale. Aceste domenii specifice pot fi folosite pentru a delimita in mod generic tendintele matematicii pana in ziua de astazi, in sensul delimitarii a trei tendinte specifice: studiul structurii, spatiului si al schimbarilor.

Carl Friedrich Gauss, el insusi cunoscut ca "print al matematicii", numea matematica "regina a stiintelor".In latina - Regina Scientiarum, in germana - Knigin der Wissenschaften. Ambele expresii sunt legate de cuvantul "stiinta" care inseamna (domeniu de) cunostinte. Intr-adevar, in acest sens, nu exista indoieli ca matematica este o stiinta. Restrangerea sensului de stiinta doar la domenii specializate care studiaza natura, nu mai este de actualitate. Daca ar fi considerate stiinte doar acele domenii ale cunoasterii care se ocupa strict de lumea fizica, atunci matematica, sau cel putin matematica pura, ar trebui sa nu fie considerata o stiinta. Albert Einstein spunea ca "atunci cand legile matematicii se refera la realitate, ele nu sunt sigure iar cand sunt sigure, ele nu se refera la realitate"

Matematica in viata elevului

Numarul de ore de matematica au scazut atat in gimnaziu cat si in liceu, iar cantitatea de materie nu, din acest motiv a scazut calitatea predarii si interesul elevului.Numarul mare de ore pe care elevul il petrece in scoala ii scurteaza timpul liber precum si timpul pe care ar trebui sa-l aloce pentru pregatirea lui la disciplina matematica.Caracterul de problema prezinta doar acele sarcini didactice ce contin o anumita dificultate cognitiva si a caror rezolvare necesita o activitate de cercetare. Pentru elevi problema reprezinta o dificultate cognitiva, care necesita un efort de gandire pentru a putea fi depasita;Situatia le starneste interesul, le provoaca o anumita incordare intelectuala si le declanseaza o trebuinta de cunoastere, care mobilizeaza la efort;Exista lacune in sistemul de cunostinte al elevului, golul urmand sa fie umplut prin rezolvarea problemei;Activitatea elevului este orientata catre inlaturarea zonei de incertitudine(necunoscutul), prin descoperirea de cunostiinte noi si de procedee de actiune;Solutionarea problemei se bazeaza pe experiente si cunostintele dobandite anterior de catre elevi

Trasaturile de caracter dezvoltate de matematica

Cel ce studiaza in mod serios matematica si vrea sa faca din ea preocuparea vietii sale, trebuie sa invete rationamentul deductiv.

Din trasaturile de caracter ale fiecarui elev care sunt dezvoltate la ora de matematica, de disciplina matematica, amintim: Rabdarea, Logica, Memoria, Atentia, Gandirea, Perspicacitatea, Creativitatea, Capacitatea de abstractizare, Functiile gandirii.

In cele ce urmeaza vom definii termenii mentionati mai sus pentru a intelege cat de importanta este matematica:

Rabdarea: Faptul de a rabda; capacitate fireasca de a suporta greutati si neplaceri fizice sau morale; putere de a astepta in liniste desfasurarea anumitor evenimente. Expr. A(-si) pierde rabdarea sau a-si iesi din rabdare (ori din rabdari) = a-si pierde calmul, stapanirea de sine. A scoate (pe cineva) din rabdare (sau din rabdari) = a supara, a enerva, a indispune (pe cineva) peste masura.

Logica: Stiinta a demonstratiei, al carei obiect este stabilirea conditiilor corectitudinii gandirii, a formelor si a legilor generale ale rationarii corecte. Logica generala = logica clasica, de traditie aristotelica, care studiaza formele logice fundamentale (notiunea, judecata, rationamentul), precum si principiile gandirii. Logica matematica (sau simbolica) = ramura a logicii care cerceteaza operatorii logici si care are ca obiect aplicarea metodelor matematice in domeniul logicii formale, in electronica, cibernetica, lingvistica; logistica. Logica dialectica = conceptie filozofica a logicii de pe pozitiile materialismului dialectic, care studiaza dialectica formelor logice, raportul lor cu continutul.

Atentia: Insusire care consta in orientarea si in concentrarea activitatii psihice intr-o anumita directie

Memorie: Proces psihic care consta in intiparirea, recunoasterea si reproducerea senzatiilor, sentimentelor, miscarilor, cunostintelor etc. din trecut. Minte (considerata ca sediu al procesului de memorare). Loc. adv. Din memorie = din aducere-aminte, pe de rost

Gndirea: Facultate superioara a creierului omenesc, care reflecta in mod generalizat realitatea obiectiva prin notiuni, judecati, teorii etc.

Perspicacitate: Calitatea de a fi perspicace; agerime, ascutime (de minte), istetime, patrundere. - Din fr. perspicacit.

Creativitate: Insusirea de a fi creator; putere creatoare

Capacitatea de abstractizare: Operatie a gandirii prin care se desprind si se retin unele dintre caracteristicile si relatiile esentiale ale obiectului cercetarii;

Functiile gandirii: Gandirea are o functie cognitiva, avand rolul esential in cunoasterea abstracta, formala a realitatii. In baza acestei functii, gandirea realizeaza trecerea dincolo de aparenta la esenta, dincolo de forma la continut.

De ce invatam cu greu matematica?

Matematica este disciplina care formeaza deprinderi de calcul corect, rapid, de rationament logic. Matematica isi pune temeliile incepand din clasa I. Elevul isi dezvolta interesul pentru matematica treptat si permanent daca acesta este bine cultivat de catre invator(are) sau profesor in anii de scoala. El poate sa aiba sau nu anumite inclinatii native pentru aceasta disciplina.Sunt multe si variate motivele pentru care elevii nu invata la matematica cum ar fi : prea mult, prea greu, prea putin timp la dispozitie pentru studiu, prea multe tentatii, o defectuasa transmitere a notiunilor, o dotare intelectuala insuficienta.

Matematica pura si aplicata, estetica

In zilele noastre, toate stiintele utilizeaza rezultatele muncii matematicienilor si multe alte domenii sunt generate de matematica insasi. De exemplu, fizicianul Richard Feynman, a inventat path integral formulation din mecanica cuantica, folosind o combinatie intre descoperiri de natura matematica, intuitii fizice si teoria sirurilor, o teorie stiintifica inca in dezvoltare care incearca sa unifice cele 4 forte fundamentale din natura, continuand sa inspire noi ramuri ale matematicii. Unele ramuri ale matematicii sunt singurele relevante pentru domeniile pe care le-au inspirat si se aplica in continuare pentru rezolvarea problemelor viitoare. Adeseori insa, matematica inspirata de catre un domeniu s-a dovedit utila in multe altele si a reunit problematica generala a conceptelor matematice. Faptul remarcabil ca chiar si matematica pura se reflecta in aplicatii practice este redat de ceea ce Eugene Wigner a numit 'eficienta irationala a matematicii'. Ca in multe alte domenii, explozia de cunostinte din stiinta a dus la specializari in matematica. O diferenta majora este intre matematica pura si matematica aplicata: cei mai multi matematicieni isi fac cercetarile separat intr-unul din aceste domenii iar alegerea finala este facuta odata cu terminarea studiilor. Cateva domenii din matematica aplicata au fuzionat cu domenii care prin traditie erau din afara ei si au devenit astfel discipline noi, cum ar fi statistica, cercetarea operationala, si stiinta computerelor. Cei care au inclinatii spre matematica gasesc adesea aspecte estetice in multe domenii din matematica. Multi matematicieni vorbesc despre eleganta matematicii, despre o estetica intrinseca si o frumusete ascunsa. Sunt apreciate simplitatea si generalizarea. Se poate vorbi de frumusetea si eleganta unei demonstratii, cum ar fi cazul demonstratiei lui Euclid asupra infinitatii numerelor prime, a metodei numerice de calcul rapid ca in cazul transformatei rapide Fourier. G. H. Hardy, in "A Mathematician's Apology" isi exprima credinta ca aceste consideratii estetice sunt, in ele insele, suficiente pentru a justifica studiul matematicii pure. Dupa Paul Erdős, care ar fi vrut sa afle "Cartea" in care Dumnezeu a notat demonstratiile lui favorite, matematicienii nazuiesc adeseori sa gaseasca demonstratii ale teoremelor care sunt, in special, elegante. Popularitatea matematicii distractive este un alt indiciu al placerii gasite in rezolvarea problemelor de matematica.

Limbajul matematic

Cuvantul matematica isi are originea in cuvantul grecesc mthēma, care insemna "invatare", "studiu", "stiinta", la randul lui provenind din verbul manthanein, "a invata". Termenul mathema a capatat inca din perioada clasica si sensul precis de "studiu matematic". Adjectivul corespunzator este μαθηματικός mathēmatiks, insemnand "legat de invatare" sau "studios", iar mai tarziu, "matematic". Din greaca, termenii au fost preluati in latina, unde stiintele matematice, numite in greceste μαθηματικ τέχνη mathēmatik, au fost denumite cu pluralul ars mathematica.

Din latina, termenul mathematica a fost preluat in forme asemanatoare in toate limbile europene moderne. Forma aparenta de plural din engleza, ca si pluralul frantuzesc les mathmatiques, au revenit in latina sub forma pluralului neutru mathematica (Cicero), pornind de la pluralul grecesc τα μαθηματικά ta mathēmatik, acesta fiind utilizat de Aristotel cu sensul de "toate lucrurile matematice".In romana, termenul a fost copiat dupa frantuzescul mathmatique si italienescul matematica.

Matematica foloseste un limbaj propriu. Anumiti termeni din limbajul curent, cum ar fi grup, inel sau corp pot avea un inteles diferit in limbajul matematic. Mai des insa, termenii sunt inventati si introdusi in functie de necesitati: izomorfism, topologie, iteratie, etc. Numarul relativ mare al termenilor noi sau cu inteles schimbat face ca intelegerea matematicilor avansate de catre nespecialisti sa fie dificila. Limbajul matematic se bazeaza si pe formule. Acestea contin anumite simboluri, unele imprumutate din calculul propozitional, cum ar fi implicatia logica sau operatorul pentru negatie, altele in legatura cu calcul cu predicate (simbolurile pentru "oricare ar fi" si "exista" ). Cea mai mare parte din notatiile folosite in prezent au fost introduse dupa secolul al XVI-lea. Motivul principal pentru care au fost introduse simbolurile si termenii noi il reprezinta necesitatea exprimarii cat mai exacte a ideilor (o caracteristica comuna stiintelor exacte, numita rigoare). Rigoarea este necesara pentru a evita teoremele false, generate de intepretari gresite. Trebuie subliniat faptul ca exista si un limbaj matematic (metalimbaj) ce descrie matematica insasi. Acest limbaj este logica.

Matematica privita ca stiinta

Multi filozofi cred ca, ne putand fi demonstrata experimental, matematica nu poate fi o stiinta dupa definitia data de Karl Popper. Oricum, in anii 1930, lucrari importante de logica matematica au aratat ca matematica nu poate fi redusa la logica si Karl Popper a tras concluzia ca "cele mai multe teorii matematice sunt, ca si cele din fizica si biologie, deductive: ca urmare, matematica pura, in cele din urma, devine mult mai aproape de stiintele naturii ale caror ipoteze sunt presupuneri, asa cum s-a observat recent". Alti ganditori, printre care Imre Lakatos, au afirmat ca matematica insasi falsifica realitatea. Un alt punct de vedere ar fi acela ca anumite domenii stiintifice (cum ar fi fizica teoretica) sunt de fapt stiinte matematice cu axiome care corespund realitatii. Cercetatorul in fizica teoretica J. M. Ziman a propus ca stiintele sa fie considerate cunostinte publice iar matematica sa fie inclusa intre ele. In orice caz, matematica are multe parti comune cu stiintele fizice, folosindu-se de studiul logic al unor ipoteze. Intuitia si experimentele au, de asemenea, roluri importante in formularea ipotezelor, atat in matematica, cat si in (alte) stiinte. Matematica experimentala continua sa capete o importanta tot mai mare intre stiintele matematice, in acest sens, computerizarea si simularea jucand roluri tot mai importante in stiinte si in matematica, slabind astfel obiectiile potrivit carora matematica nu ar utiliza metode stiintifice. In 2002, in cartea sa, "A New Kind of Science", Stephen Wolfram sustinea ca matematica computationala merita sa fie explorata empiric, ca orice domeniu stiintific cu toate atributele. Opiniile matematicienilor in aceasta privinta sunt diferite. Multi dintre ei cred ca a denumi acest domeniu o stiinta inseamna a-i reduce importanta laturii sale estetice si a-i denatura istoria sa in cadrul celor 7 (sapte) arte libere; altii, dimpotriva, sustin ca ignorarea interferentelor cu stiintele inseamna a vedea cu un singur ochi deoarece aplicatiile matematicii in stiinte si inginerie au adus multe noutati in matematica. Intr-un fel, aceste puncte de vedere diferite s-au transformat in dezbateri filozofice: daca matematica a fost si este creata (ca in arta) sau descoperita (ca in stiinta). A devenit un fapt obisnuit sa vezi universitati care au incluse sectii de Stiinta si Matematica, aratand in acest fel ca aceste doua domenii sunt privite ca fiind aliate dar nu identice. In practica, matematicile sunt in general grupate cu stiintele la nivele grosiere, dupa care sunt separate pe parcursul specializarii. Aceasta este una din chestiunile care fac obiectul filozofiei matematicii.

Premiile in matematica sunt in general tinute separat de echivalentele lor din stiinta. Cel mai prestigios premiu in matematica este Medalia Fields, stabilit in 1936 si acum acordat odata la 4 (patru) ani. Este adesea considerat, in mod eronat, echivalentul premiilor Nobel pentru stiinte. Premiul Wolf pentru Matematica, instituit in 1978, recunoaste realizarile pentru intreaga viata iar alt mare premiu international, Premiul Abel, a fost introdus in 2003. Acestea sunt acordate pentru lucrari speciale, care pot fi inovatii sau rezolvari ale unor probleme remarcabile dintr-un domeniu anume. O faimoasa lista de 23 de probleme deschise de acest fel, numita "Problemele lui Hilbert", a fost alcatuita de matematicianul german David Hilbert in 1900. Aceasta lista a devenit celebra printre matematicieni si in cele din urma noua dintre ele au fost rezolvate. O lista noua, intitulata "Problemele pentru premiul mileniului', a fost publicata in 2000. Solutionarea fiecareia dintre ele aduce un premiu de 1 milion de dolari celui care o rezolva. Numai una dintre ele (Ipoteza lui Riemann se regaseste intre problemele lui Hilbert.

Tipuri de probleme intalnite in matematica distractiva

1.Vom considera, conventional,ca daca omul nu mananca 7 zile (o zi - 24 de ore) sau nu doarme 7 zile, atunci el va muri. Fie ca un om o saptamana n-a mancat si n-a dormit. Ce trebuie sa faca in primul rand catre sfarsitul a 7-ei zile: sa manance sau sa doarma, ca sa ramana viu?

Solutia: Omul nu poate simultan si dormi si manca. De aceea termen de 7 zile dupa somn si dupa mancare vine in timp diferit. Deci, omul trebuie sa faca fix aceea, ce el facea o saptamana in urma: a dormit sau a mancat.

2. Fiecare din cele 5 bile trebuie miscate numai cu un patratel, ca in final in fiecare rand, coloana si pe diagonale sa se afle numai o bila.

Solutie:  

3.Inscrieti in cerculete pe desen numerele de la 1 pana la 7 astfel, incat pe fiecare dreapta suma numerelor sa fie egala cu 15. (Solutie problemei nu-i unica.)

Solutie

4. Ganditi-va la un numar si il scrieti, inmultiti cu 5, adaugati 2, inmultiti cu 4 si adaugati 3. Acum inmultiti rezultatul primit cu 5 si adaugati inca 7. Scrieti numarul primit. Taiati ultimele doua cifre. Ce numar ati obtinut?

Solutie: Numarul gandit.

5. Presupunem, ca globul pamantesc este cuprins pe ecuator de un cerc, care dupa lungime intrece ecuatorul cu 10 m. Admitem ca tot cercul este egal indepartat de suprafata pamantului. Cat de mare va fi distanta intre suprafata si cerc? S-ar putea, spre exemplu, sa patrunda o musca sub cerc?

Solutie Distanta intre suprafata pamantului si cerc va fi aproximativ 1.6 m. Aceasta distanta este suficienta, ca sub cerc sa treaca chiar un om de statura mica.

6. Rugati pe cineva sa scrie un oarecare numar cu multe cifre, numai sa nu fie toate la fel. Apoi propuneti sa faca o permutare a cifrelor acestui numar astfel, incat sa obtina un numar diferit de primul si sa-l scrie. Rugati sa scada numarul mai mic (din cele doua scrise) din cel mai mare, iar in diferenta obtinuta de exclus orice cifra diferita de 0. Apoi de aflat suma cifrelor ramase si sa spuna rezultatul. Dupa rezultat dumneavoastra puteti sa spuneti, ce cifra a fost taiata.

Solutie: Cifra taiata este aceea, care trebuie sa fie adaugata la numarul declarat pentru a obtine numarul cel mai apropiat ce se imparte prin 9. Daca numarul declarat deja se imparte prin 9, atunci a fost taiata cifra 9.

Argumentare.

Fie numerele A si B au aceiasi suma a cifrelor S. Deoarece diferentele A-S si B-S se impart prin 9 (rezolvarea problemei precedente), rezulta ca si C=A-B=(A-S)-(B-S) se imparte prin 9. Deci, suma cifrelor lui C se imparte prin 9. Demonstratia de mai departe este echivalenta cu cea din problema precedenta.

7. Propuneti cuiva sa scrie niste numere, care au acelasi numar de cifre. La aceste numere dumneavoastra mai scrieti niste numere. Spunand raspunsul deodata, dumneavoastra adunati toate numerele scrise. Care numere trebuie sa scrieti si aflati suma tuturor numerelor rapid?

Solutie: Pentru fiecare numar deja scris A dumneavoastra mai scrieti un numar, cifrele caruia se obtin ca adaugare pana la 9 a cifrelor respective ale numarului A.
Daca au fost scrise m numere, compuse din n cifre, atunci suma acestor m numere si a numerelor scrise de dumneavoastra dupa regula de mai sus va fi: 10nm - m.
Daca printre primele numere a fost scris numarul de forma 999, atunci pentru acesta nu trebuie de scris nici un numar adaugator.

Argumentare.

Daca este scris un numar compus din (n+1) cifre an≠0, si dumneavoastra scrieti numarul

, unde   bi=9-ai   i=0, 1, , n,

este clar, ca suma numerelor si va fi egala cu

Astfel, daca au fost scrise m numere, atunci suma lor cu cele m numere, scrise de dumneavoastra, este egala (10n+1-1)m = 10n+1m - m.

Daca an=9 si an-1≠9, atunci dumneavoastra trebuie sa scrieti

, unde   bi=9-ai   i=0, 1, , n-1,

vom obtine in rezultat ca

8. Probleme cu caracter practic

1.Pentru 3 creioane, o guma si 7 caiete un elev plateste 45 lei. Daca ar cumpara 5 creioane, 3 gume si 2 caiete ar plati 28 lei. Stiind ca 4 creioane, 5 gume si 5 caiete costa impreuna 42 lei, sa se afle pretul fiecarui obiect.

2.Daca tatal ar avea cu 7 ani mai mult decat are, atunci varsta actuala a fiului mai mic ar fi din varsta tatalui. Peste 15 ani varsta fiului mare va fi din varsta tatalui. Sa se determine varsta fiecaruia, daca peste 18 ani cei doi copii vor avea impreuna cat varsta tatalui lor.

3.Pentru golirea unui bazin cu apa se utilizeaza trei robinete. Timpul de functionare a fiecarui robinet si cantitatea de apa evacuata exprimata in hectolitri sunt date in tabelul matriceal alaturat.

Sa se determine debitul fiecarui robinet.

Rezolvare:

d₁-debitul robinetului I

d₂-debitul robinetului al II-lea

d₃-debitul robinetului al III-lea

A =

3 6

3 2 6

2 2 3