GEOMETRIE PLANA

*PUNCTUL:

Def: Reprezinta o figura geometrica adimensionala(care nu are dimensiuni), acesta se noteaza : ·, x, A, B, C,…

*DREAPTA :

Def : Reprezinta o figura geometrica formata dintr-o multime infinita de puncte.

……AB……

-Se considera ca o dreapta are capetele prelungite la infinit(“∞”).

-O dreapta se poate defini prin cel putin doua puncte.

-O dreapta se noteaza : (d),(a),(b), …,(AB) sau AB.

-Trei (sau mai multe) puncte sunt coliniare daca se gasesc pe aceeasi dreapta.

A BC D

*SEMIDREAPTA :

Def : Reprezinta o dreapta marginita la un capat.

se noteaza [AB A| B…..

se noteaza AB] ·····A | B

*SEGMENTUL DE DREAPTĂ:

Def :Reprezinta o dreapta marginita la ambele capete.

se noteaza [AB]A | | B

*Pozitiile relative dintre doua (a) si (b)

1)Daca doua drepte diferite (a) si (b) au un punct în comun atunci ele sunt concurente în acel punct

(deci se intersecteaza

2)Daca doua drepte diferite (a) si (b) n-au nici un punct în comun, se spune ca ele sunt paralele.

3)Daca doua drepte diferite (a) si (b) sunt perpendiculare atunci ele formeaza unghiuri drepte.

1) (a)(b) 2) (a) (b) 3) (a)

A

AA (b

O )) B

(a)∩(b)= (a)∩(b)=Ř ; (a)| |(b) (a)∩(b)= ; (a)(b)

*Unghiul :

Def:Reprezinta o figura geometrica formata din doua semidrepte care au punctul fix comun.

-Notatii: <AOB, m(<AOB), (<AOB), α, β …

-Unghiul se masoara în grade,(gradul are ca submultiplii minutul si secunda: 1ş=60'; 1'=60').

-Instrumentul care este folosit la masurarea unghiurilorr se numeste raportor.

*CLASIFICAREA UNGHIURILOR

1)Unghiul nul O A≡B sauO A≡B

m(<AOB)=0⁰

A

2)Unghiul ascutit

m(<AOB)<90ş O ) B

3)Unghiul drept A

m(<AOB)=90ş

O B

4)Unghiul obtuz

m(<AOB)>90ş A

O B

5)Unghiul alungit A B

m(<AOB)=180şO

6)Suma unghiurilor din jurul A …… 360⁰ B

unui punct este de 360ş    O

*Bisectoarea

Def:Reprezinta o semidreapta care pleaca din vârful unui unghi si împarte unghiul în doua parti congruente

(2 unghiuri congruente). A

[OM=bisectoare a <AOB M

<AOM≡<MOB≡ O B

*Th : Multimea tuturor punctelor din interiorul unui unghi nealungit, pentru care distantele la cele doua laturi

ale unghiului sunt congruente, formeaza o semidreapta care se numeste bisectoare a acelui unghi.

*Doua unghiuri sunt complementare daca suma masurilor celor doua unghiuri este de 90ş.

*Doua unghiuri sunt suplementare daca suma masurilor celor doua unghiuri este de 180ş.

*Doua unghiuri sunt adiacente daca au un vârf comun, o latura comuna si celelalte doua laturi se

gasesc de-o parte si de alta a laturii comune. A

a) b) A c)

O α B

β β

α β αC

( α+β=90ş )(α+β=180ş )

*Daca avem doua drepte paralele taiate de o secanta obtinem 8 unghiuri care se numesc:

<3 si <5 sunt alterne interne (si =) 1 2

<1 si <7 sunt alterne externe( si =) 4 3

<1 si <5 sunt corespondente ( si =)

<3 si <6 sunt interne si de aceeasi parte a secantei5 6

(<-le sunt suplementare)87

<1si<8 sunt externe si de aceeasi parte a secantei

(<-le sunt suplementare)

TRIUNGHIUL

Def : Un triunghi reprezinta un poligon cu trei laturi , acesta se determina prin unirea a trei puncte necoliniare.

-Cele trei puncte necoliniare se numesc vârfuri, acestea se noteaza cu litere mari.

-Segmentele de dreapta care unesc cele trei vârfuri se numesc laturi.

-Doua laturi consecutive formeaza un unghi (interior) , un triunghi are trei unghiuri.

-Suma unghiurilor în oricare tip de triunghi este de 180ş.

Perimetrul unui triunghi reprezinta suma lungimilor laturilor.

*Linia mijlocie într-un triunghi ( Th ) :

A

Segmentul ce uneste mijloacele a doua laturi ale unui triunghi si este paralel cu latura a treia are ca lungime

jumatate din lungimea ei

MN || BCAN≡NC A

AM≡MBMN= BC/2

MN

B C

A

*Unghiul exterior unui triunghi: A

Masura unui unghi exterior a unui triunghi

este egala cu suma masurilor celor doua <ACD = <ABC + <CAB

unghiuri ale triunghiului neadiacente cu el. BC D

A

*Clasificarea triunghiurilor :

**) Dupa laturi : A

a) –Triunghi oarecare

(lungimile laturilor BC

unghiurilor sunt variabile)A

b) –Triunghi isoscel AB ≡ AC

(are 2 laturi ≡ si 2 unghiuri ≡ ) B C<ABC ≡ <ACB

A

c) –Triunghi echilateral AB ≡ AC ≡ BC

(are 3 laturi ≡ si 3 unghiuri ≡ ) <B ≡ <C ≡ <A = 60ş

A

B C

**)Dupa unghiuri: A

d) –Triunghi ascutit unghic

(are 3 unghiuri ascutite) B C

A

e) –Triunghi obtuz unghic

(are un unghi obtuz)

B C

f) –Triunghi dreptunghic isoscel A

(are 2 laturi perpendiculare deci formeaza AB ≡ AC

un ungh drept, 2 unghiuri ≡, 2 laturi ≡ ) <ABC = 90ş

BC <BAC ≡ <BCA = 45ş

*Linii importante într-un triunghi:

-Într-un triunghi exista câte trei linii de acelasi fel :

3 înaltimi , 3 mediane , 3 mediatoare , 3 bisectoare .

**)Înaltimea

Reprezinta segmentul de dreapta care pleaca din vârful unui triunghi si este perpendiculara pe latura

opusa considerata baza.

Punctul de intersectie el celor trei înaltimi se numeste ortocentrul triunghiului ( H

**)Mediana

Reprezinta un segment de dreapta care pleacta din vârful unui triunghi si împarte latura opusa în doua

segmente congruente.

Punctul de intersectie el celor trei mediane se numeste centrul de greutate al triunghiului ( G

**)Mediatoarea

Mediatoarea unui segment reprezinta o semidreapta care este perpendiculara pe mijlocul segmentului.

Mediatoarea unui triunghi este perpendiculara pe o latura (considerata baza) dusa prin mijlocul acelei laturi.

Punctul de intersectie al celor trei mediatoare se numeste centrul cercului circumsris triughiului

( cercul din exteriorul triunghiului “O

**)Bisectoarea

Reprezinta un segment de dreapta care pleacta din vârful unui unghi al unui triunghi si împarte

unghiul în doua parti congruente.

Punctul de intersectie al celor trei bisectoare se numeste centrul cercului înscris în triunghi

(cercul din interiorul triunghiului “I”).

*)Aria triunghiului

Reprezinta semiprodusul dintre înaltimea triunghiului si baza corespunzatoare.

A

A_ABC== A

Formula lui Heron: “c” “b

B

C

A= ; unde: P=B C

M “a”

**)Înaltimea în diferite tipuri de triunghiuri :

a) A b) A c) AA

B M C B M CBC MB C

OBS: a)Înaltmile au lungimi diferite, si nu determina pe baza segmente congruente .

b)Înaltmea în isoscel determina segmente ≡ numai pe lature necongruenta ,si înaltmile corespunzatoare

laturilor congruente sunt ≡ .

c)Înaltmile în echilateral sunt ≡ si determina pe baza segmente congruente .

d)În dreptunghic înaltmea corespunzatoare ipotenuzei determina proiectiile catetelor pe aceasta ,

si celelalte doua înaltmi sunt catetele.

e)Înaltmea coborâta din vârful opus unghiului obtuz este perpendiculara pe prelungirea bazei.

**)Mediana în diferite tipuri de triunghiuri :

OBS: a)Medianele au lungimi diferite .

b)Medianele corespunzatoare laturilor congruente în isoscel sunt congruente.

Cele trei mediane în echilateral sunt congruente , punctul de intersectie al celor trei mediane deci centrul

de greutate este situat la 1/3 de baza si 2/3 de vârf din mediana.

c)Cele trei mediane în oarecare se intersecteaza intr-un punct “G ” (punct numit centru de greutate al )

si este situat la 1/3 de baza si 2/3 de vârf din fiecare mediana.

d)Mediana corespunzatoare ipotenuzei reprezinta raza cercului circumscris triunghiului.

**)Mediatoarea în diferite tipuri de triunghiuri :

OBS: Mediatoarea unui triunghi este mediatoarea unei laturi a triunghiului , adica dreapta perpendiculara

pe latura , prin mijlocul acesteia , punctual de intersectie al mediatoarelor intr-un triunghi se noteaza cu “ O”

si reprezinta centrul cercului circumscris triunghiului considerat .

Punctul “O” este interior triunghiului daca acesta este ascutitunghic ,

Punctul “O” este exterior triunghiului daca acesta este obtuzunghic ,

Punctul “O” coincide cu mijlocul ipotenuzei triunghiului daca acesta este dreptunghic .

A

a b A O B b c

OO a

B C a B b C A C

c c

Ecuatia fundamentala trigonometrica este :sin² + cos² = 1

Valorile rapoartelor trigonometrice pentru unghiurile = 30⁰ ; = 45⁰ ; = 60⁰