INDICATORII VARIATIEI

Indicatorii variatiei

1. Indicatorii simpli si sintetici ai variatiei

Indicatorii simpli ai variatiei servesc pentru a caracteriza gradul de imprastiere a unitatilor purtatoare ale caracteristicilor inregistrate. Se calculeaza pentru a masura amplitudinea variatiei si marimea abaterilor valorilor individuale de la media lor. Acesti indicatori se pot exprima atat in marimi absolute - folosind aceleasi unitati de masura ca si pentru caracteristica studiata - cat si in marimi relative, calculate in raport cu valoarea medie.

a) Amplitudinea absoluta a variatiei (A). Se calculeaza ca diferenta intre nivelul maxim (x_max) si nivelul minim (x_min) al caracteristicii:

A= x_max - x_min

In cazul unei serii de distributie de frecvente amplitudinea variatiei se calculeaza ca diferenta intre limita maxima a intervalului superior si limita inferioara a intervalului inferior. Daca intervalele sunt deschise atunci amplitudinea variatiei se determina dupa ce s-au inchis in mod conventional intervalele extreme. Fiind legata de unitatea de masura a caracteristicii, amplitudinea variatiei nu poate fi folosita ca masura a variatiei decat pentru seriile care se refera la aceeasi caracteristica inregistrata pentru aceeasi unitate de timp, dar in unitati de spatiu diferite, sau pentru aceeasi unitate de spatiu, dar pentru perioade de timp diferite.

b) Amplitudinea relativa a variatiei ( A% ). Se exprima de regula in procente si se calculeaza ca raport intre amplitudinea absoluta a variatiei si nivelul mediu al caracteristicii:

(6.2)

Amplitudinea variatiei nu este insa un indicator suficient de semnificativ, deoarece in calculul sau nu se tine seama decat de valorile extreme ale caracteristicii, ori asupra variatiei unui fenomen influenteaza toate valorile individuale si frecventele lor de aparitie.

Uneori se intalnesc cazuri cand valorile extreme sunt foarte departate de celelalte valori intermediare si in acest caz a masura variatia numai in functie de amplitudinea ei constituie o greseala.

Amplitudinea variatiei se foloseste in prelucrarea statistica la alegerea numarului de grupe si a marimii intervalului de grupare. In controlul calitatii produselor, amplitudinea variatiei este un indicator care se interpreteaza in raport cu limitele de toleranta admise.

c)    Abaterile individuale absolute ( d_i ). Se calculeaza ca diferenta intre fiecare varianta inregistrata si media aritmetica a acestora, astfel:

(6.3)

d) Abaterile individuale relative (d_i% ). Se calculeaza raportand abaterile absolute la nivelul mediu al caracteristicii:

(6.4)

In analiza variatiei intereseaza in special abaterile maxime intr-un    sens sau altul:

- in marimi absolute:

sau (6.5)

- in marimi relative:

sau (6.6)

De retinut!

Gradul de variatie al unei caracteristici nu depinde insa numai de abaterile maxime care apar intr-un sens sau altul, ci de toate abaterile variantelor inregistrate si de frecventele lor de aparitie. Numai in cazul distributiei perfect simetrice abaterea absoluta maxima pozitiva coincide cu abaterea maxima negativa, iar in interiorul seriei abaterilor egale in marimi absolute le corespund frecvente egale de aparitie, ceea ce asigura o compensare a abaterilor nu numai pe total ci si la nivelul centralizat al unitatilor.

Rezulta deci ca indicatorii simpli ai variatiei fiind calculati pe baza relatiilor dintre doi termeni ai seriei sau intre fiecare termen si media lor, nu pot exprima intreaga variatie a unei caracteristici inregistrate. De aceea este necesar sa se calculeze si indicatorii sintetici ai variatiei care iau in consideratie toate abaterile caracteristicii.

Pentru a sintetiza intr-o singura expresie numerica intreaga variatie a unei caracteristici trebuie sa se recurga tot la valoarea medie calculata din abaterile individuale ale variantelor de la media lor.

Indicatorii sintetici ai variatiei sunt: abaterea medie liniara, abaterea medie patratica, dispersia si coeficientul de variatie.

a) Abaterea medie liniara (). Se calculeaza ca o medie aritmetica simpla sau ponderata din abaterile termenilor seriei de la media lor, luate in valoare absoluta. Abaterile termenilor seriei de la media lor aritmetica se iau in valoare absoluta, deoarece suma algebrica a tuturor abaterilor este egala cu zero ( pentru seria simpla si pentru seria de frecvente).

Formulele de calcul al abaterii medii liniare sunt:

Pentru o serie simpla:

(6.7

Pentru o serie de frecvente absolute:

(6.8)

Pentru o serie de frecvente relative, exprimate in procente:

(6.9)

Daca frecventele relative sunt exprimate sub forma de coeficienti, atunci abaterea medie liniara va fi:

(6.10)

De retinut!

Abaterea medie liniara prezinta dezavantajul ca nu tine seama de faptul ca abaterile mai mari in valoare absoluta influenteaza in mai mare masura gradul de variatie a unei caracteristici, in comparatie cu abaterile mai mici. In acelasi timp, din punct de vedere algebric, nu este indicat sa se renunte in mod arbitrar la semnul valorilor din care se calculeaza o valoare medie. Din aceste considerente se foloseste ca principal indicator sintetic al variatiei abaterea medie patratica.

b) Abaterea medie patratica (abatere standard) (). Se calculeaza ca o medie patratica din abaterile tuturor variantelor seriei de la media lor aritmetica:

- Pentru o serie simpla:

(6.11)

- Pentru o serie cu frecvente absolute:

(6.12)

- Pentru o serie cu frecvente relative exprimate in procente:

(6.13)

- Pentru o serie cu frecvente relative sub forma de coeficienti:

(6.14)

La abaterea medie patratica calculata ca o medie patratica, prin ridicarea la patrat se da mai mare importanta abaterilor mai mari in valoare absoluta si in consecinta, abaterea medie patratica va fi intotdeauna mai mare decat abaterea medie liniara, calculata pentru aceeasi serie de date.

Abaterea medie patratica este un indicator de baza care se foloseste in analiza variatiei la estimarea erorilor de selectie, in calcule de corelatie. Alaturi de valoarea medie, abaterea medie patratica reprezinta un parametru ce defineste diferitele tipuri de distributii normale.

Abaterea medie patratica, ca si abaterea medie liniara, se exprima in aceleasi unitati ca si caracteristica a carei variatie o prezinta. Din acest motiv, acesti indicatori se pot folosi la compararea gradului de variatie numai pentru seriile care se refera la aceeasi caracteristica statistica.

Pentru compararea gradului de variatie pentru doua sau mai multe caracteristici statistice diferite se foloseste coeficientul de variatie.

c) Coeficientul de variatie (v). Se calculeaza ca raport intre abaterea medie patratica si nivelul mediu al seriei. De obicei se exprima sub forma de procente.

Formula de calcul a coeficientului de variatie este:

(6.15)

Daca se cunoaste numai abaterea medie liniara, atunci se poate calcula coeficientul de variatie si pe baza formulei:

(6.16)

Coeficientul de variatie poate sa ia valori incepand cu zero. Cu cat are o valoare mai mica, cu atat seria statistica este mai omogena si deci media este mai reprezentativa. Se apreciaza ca in cazul unui coeficient de peste 35 - 40% media nu mai este reprezentativa si datele trebuie regrupate.

Acest indicator este cel mai expresiv fiind folosit la aprecierea gradului de semnificatie al mediei pentru o serie de distributie precum si a omogenitatii colectivitatii statistice din punctul de vedere al caracteristicii cercetate.

d) Dispersia (). Dispersia este un alt indicator sintetic al variatiei cu o larga utilizare in analiza statistica a fenomenelor.

Se calculeaza ca o medie aritmetica simpla sau ponderata a patratelor abaterilor termenilor fata de media lor, deci se mai poate numi si patratul mediu al abaterilor termenilor fata de media lor.

pentru o serie simpla:

(6.17)

pentru o serie cu frecvente absolute:

(6.18)

pentru o serie de frecvente relative exprimate in procente:

(6.19)

pentru o serie cu frecvente relative exprimate sub forma de coeficienti:

(6.20)

Calculul simplificat al dispersiei prin procedeul originii arbitrare intr-o serie de repartitie, utilizat si in determinarea mediei, se bazeaza pe urmatoarea formula:

(6.21)

La aceasta formula se ajunge combinand doua proprietati ale dispersiei:

Dispersia calculata din variantele caracteristicii micsorate cu o constanta a este mai mare decat dispersia seriei cu patratul diferentei dintre medie si constanta a, respectiv cu (x-a)²:

adica,

(6.22)

Dispersia calculata din abaterile variantelor de la media lor micsorate prin impartire la o constanta k este de k² ori mai mica decat dispersia seriei:

adica,

(6.23)

Constantele a si k se aleg ca si in cazul calculului simplificat al mediei aritmetice astfel incat calculul dispersiei devine destul de facil.

Exemplu Sa se determine indicatorii simpli ti sintetici ai variatiei pentru urmatoarea serie de repartitie:

Rezolvare:

Cum x_max = 3,4 si x_min = 2,0, avem:

Amplitudinea absoluta a variatiei: A = 3,4 - 2,0 = 1,4 mil.lei, respectiv amplitudinea relativa:    A% =

Se construieste tabelul:

Unde: mld.lei

Pentru determinarea indicatorilor sintetici se construieste tabelul:

Abaterea medie liniara: mld.lei

Abaterea standard:

Dispersia:

Coeficientul de variatie:

Se observa ca indiferent de formula aplicata pentru calculul coeficientului de variatie, acesta este sub 17% ceea ce indica o colectivitate omogena si o medie reprezentativa.

Dispersia poate fi calculata si cu formula:

unde: si .

In acest sens se construieste tabelul: